Considere um sistema de média móvel de 5 amostras representado por:
y[n]=15(x[n+2]+x[n+1]+x[n]+x[n-1]+x[n-2])
Encontre a resposta em frequência H(omega) do sinal e reescreva utilizando funções trigonométricas.

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que temos um sistema de média móvel de 5 amostras:
y[n]=15l(x[n+2]+x[n+1]+x[n]+x[n-1]+x[n-2]r)
O conteúdo é Transformada Discreta de Fourier (DTFT) pra achar a resposta em frequência .
O que vamos precisar:
  1. Identificar o impulso-resposta .
  2. Aplicar a definição de DTFT pra LTI: .
  3. Usar identidades trigonométricas (Euler) pra reescrever em termos de .

Passo 2

Primeiro, o impulso-resposta h[n]= 15,& n=-2,-1,0,1,2, 0,&caso contrário é justamente o que multiplica o :
á

Passo 3

Agora aplicamos a DTFT a H(omega) =sumk=-infty^infty h[k],e^-jomega k =sumk=-2^2 15,e^-jomega k =15l(e^-j2omega+e^-jomega+1+e^jomega+e^j2omegar) :

Passo 4

A gente usa a fórmula de Euler: e^-j2omega+e^j2omega=2cos(2omega), e^-jomega+e^jomega=2cos(omega) .
Então:
H(omega) =15l[1 + 2cos(omega) + 2cos(2omega)r]
Substituindo em :

Resposta

boxedH(omega)=15l(1+2cosomega+2cos2omegar)

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