Esboce o diagrama de Bode para os sistemas abaixo.
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para esboçar o diagrama de Bode de
Isso é um exercício de resposta em frequência (teoria de controle/filtragem), onde vamos usar as regras de Bode: decompor o sistema em blocos básicos (integrador, polo real, atraso puro) e montar as assíntotas de magnitude e fase.
Passo 2
Decompondo
em três partes bem conhecidas:
-
→ integrador; -
→ polo em ;\ -
→ atraso puro de s.
Passo 3
Montando o diagrama de magnitude (em dB):
- Integrador dá –20 dB/dec em toda faixa.
- Polo em 5 rad/s adiciona mais –20 dB/dec a partir de
. - Então a reta de magnitude fica:
- para
: inclinação –20 dB/dec; - para
: inclinação –40 dB/dec.
- para
- O ganho de referência (offset) a 1 rad/s pela assimptota é
do integrador mais dB, mas no esboço a gente só alinha as retas e o ponto de quebra em . - O atraso não afeta magnitude (mantém 0 dB), só fase.
Passo 4
Montando o diagrama de fase (em graus):
- Integrador: fase constante de –90°.
- Polo em 5 rad/s: começa a descer em
, atinge –45° em e vai até –90° acima de rad/s (típico critério de 1 déc. abaixo e acima). - Atraso de 0,5 s: fase
em radianos, virando em graus . - Ex.: a 1 rad/s dá –28,6°; a 10 rad/s dá –286° (tá descendo pra sempre).
Então a fase total é soma:
- Ex.: a 1 rad/s dá –28,6°; a 10 rad/s dá –286° (tá descendo pra sempre).
Passo 5
Esboçando tudo junto:
– Eixo horizontal: .
– Magnitude: reta –20 dB/dec até , depois –40 dB/dec.
– Fase: começa em –90° (integrador) em frequências baixas, lá por começa a cair com o polo até –180° (integrador+polo) e depois é puxada pra baixo sem parar pelo atraso (inclinação de –28,6°/dec em escala log, mas de fato –0,5 rad/s em linear).
– Eixo horizontal:
– Magnitude: reta –20 dB/dec até
– Fase: começa em –90° (integrador) em frequências baixas, lá por
Resposta
O diagrama de Bode de
fica com:
- Magnitude: –20 dB/dec antes de
, –40 dB/dec depois, quebra em . - Fase: –90° de base (integrador) + transição de –90° do polo em torno de 5 rad/s + inclinação contínua de atraso
(em rad).
Se você desenhar as retas e somar as fases, vai obter o esboço clássico do integrador+polo com atraso puro.