Considere um sistema elétrico com três componentes: A, B e C. A, B e C funcionam (ou falham) de forma independente. As probabilidades de falha de cada um num período de 24 h são:
P(A falha )=0.1
P(B falha )=0.2
P(C falha )=0.3
Calcule a probabilidade de o sistema funcionar nas 24 h nos seguintes cenários:
Os 3 componentes estão em série. (O sistema funciona se A e B e C funcionarem).

Passo 1

O enunciado dá um sistema com três componentes A, B e C que funcionam ou falham de forma independente. As informações numéricas fornecidas são:
P(A\\ \text{falha})=0,1
P(B\\ \text{falha})=0,2
P(C\\ \text{falha})=0,3
A pergunta é: qual a probabilidade de o sistema funcionar durante 24 h no cenário em que os 3 componentes estão em série, i.e., o sistema funciona se e somente se A e B e C funcionarem.

Passo 2

Entendendo o que precisamos calcular: “o sistema funciona” significa que todos os três componentes funcionam ao mesmo tempo. Em linguagem de probabilidade, queremos
P(A\\ \text{funciona} \land B\\ \text{funciona} \land C\\ \text{funciona}).
Como o enunciado afirma que os componentes são independentes, podemos usar a regra fundamental para eventos independentes: a probabilidade de todos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais. Vou explicar esse conceito com calma.
O que significa independência e por que multiplicamos?
  • Dois eventos X e Y são independentes quando saber que X ocorreu não muda a probabilidade de Y ocorrer. Para eventos independentes vale
P(X\land Y)=P(X)\cdot P(Y).
  • Para três eventos independentes, a extensão natural é
P(X\land Y\land Z)=P(X)\cdot P(Y)\cdot P(Z).
Aqui os “eventos” são “cada componente funciona”. A independência é a condição que nos permite simplesmente multiplicar.

Passo 3

Antes de multiplicar, convertemos as probabilidades de falha em probabilidades de funcionamento usando a regra do complemento: se P(\text{falha}) é a chance de falhar, então
P(\text{funciona})=1-P(\text{falha}).
Aplicando aos três componentes:
P(A\\ \text{funciona})=1-0,1=0,9,
P(B\\ \text{funciona})=1-0,2=0,8,
P(C\\ \text{funciona})=1-0,3=0,7.
(Dica prática: escreva mentalmente 0,9, 0,8 e 0,7.)

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto para eventos independentes:
P(\text{o sistema funciona})=P(A\\ \text{funciona})\cdot P(B\\ \text{funciona})\cdot P(C\\ \text{funciona}).
Substituindo os valores:
P(\text{sistema})=0,9\cdot 0,8\cdot 0,7.
Vou mostrar duas maneiras de calcular sem calculadora.
Jeito decimal passo a passo:
0,9\cdot 0,8=0,72,
0,72\cdot 0,7=0,504.
Jeito em frações (às vezes ajuda a ver o raciocínio):
0,9=\frac{9}{10},\quad 0,8=\frac{4}{5},\quad 0,7=\frac{7}{10}.
Multiplicando:
\frac{9}{10}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{7}{10}=\frac{9\cdot4\cdot7}{10\cdot5\cdot10}=\frac{252}{500}=\frac{126}{250}=\frac{63}{125}=0,504.
Então o resultado bate nas duas formas. Pequeno cheque de sanidade: como cada fator é menor que 1, o produto deve ser menor que cada um deles, e 0,504 faz sentido.

Passo 5

Resumo do raciocínio para a prova (cola mental):
  • Converter falhas em funcionamento com P(\text{funciona})=1-P(\text{falha}).
  • Se componentes são independentes e o sistema exige todos funcionando (série), multiplicar as probabilidades de funcionamento.
  • Calcular produto passo a passo: primeiro dois, depois com o terceiro.
Força aí — tá certinho e é um método que cai direto em prova!

Resposta

0,504

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