Considere um sistema elétrico com três componentes: A, B e C. A, B e C funcionam (ou falham) de forma independente. As probabilidades de falha de cada um num período de 24 h são:
falha
falha
falha
Calcule a probabilidade de o sistema funcionar nas 24 h nos seguintes cenários:
Os 3 componentes estão em série. (O sistema funciona se A e B e C funcionarem).
Calcule a probabilidade de o sistema funcionar nas 24 h nos seguintes cenários:
Os 3 componentes estão em série. (O sistema funciona se A e B e C funcionarem).
Passo 1
O enunciado dá um sistema com três componentes
,
e
que funcionam ou falham de forma independente. As informações numéricas fornecidas são:
A pergunta é: qual a probabilidade de o sistema funcionar durante 24 h no cenário em que os 3 componentes estão em série, i.e., o sistema funciona se e somente se
e
e
funcionarem.
Passo 2
Entendendo o que precisamos calcular: “o sistema funciona” significa que todos os três componentes funcionam ao mesmo tempo. Em linguagem de probabilidade, queremos
Como o enunciado afirma que os componentes são independentes, podemos usar a regra fundamental para eventos independentes: a probabilidade de todos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais. Vou explicar esse conceito com calma.
O que significa independência e por que multiplicamos?
- Dois eventos
e são independentes quando saber que ocorreu não muda a probabilidade de ocorrer. Para eventos independentes vale
- Para três eventos independentes, a extensão natural é
Aqui os “eventos” são “cada componente funciona”. A independência é a condição que nos permite simplesmente multiplicar.
Passo 3
Antes de multiplicar, convertemos as probabilidades de falha em probabilidades de funcionamento usando a regra do complemento: se
é a chance de falhar, então
Aplicando aos três componentes:
(Dica prática: escreva mentalmente
,
e
.)
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto para eventos independentes:
Substituindo os valores:
Vou mostrar duas maneiras de calcular sem calculadora.
Jeito decimal passo a passo:
Jeito em frações (às vezes ajuda a ver o raciocínio):
Multiplicando:
Então o resultado bate nas duas formas. Pequeno cheque de sanidade: como cada fator é menor que 1, o produto deve ser menor que cada um deles, e
faz sentido.
Passo 5
Resumo do raciocínio para a prova (cola mental):
- Converter falhas em funcionamento com
. - Se componentes são independentes e o sistema exige todos funcionando (série), multiplicar as probabilidades de funcionamento.
- Calcular produto passo a passo: primeiro dois, depois com o terceiro.
Força aí — tá certinho e é um método que cai direto em prova!