Considere um sistema elétrico com três componentes: A, B e C. A, B e C funcionam (ou falham) de forma independente. As probabilidades de falha de cada um num período de 24 h são:
P(A falha )=0.1
P(B falha )=0.2
P(C falha )=0.3
Calcule a probabilidade de o sistema funcionar nas 24 h nos seguintes cenários:
Os 3 componentes estão em paralelo. (O sistema funciona se A ou B ou C funcionar, i.e., se pelo menos um funcionar).

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de o sistema funcionar nas 24 h quando os três componentes A, B e C estão em paralelo (ou seja, o sistema funciona se pelo menos um dos componentes funcionar). As informações fornecidas são:
P(A\\ \text{falha}) = 0,1
P(B\\ \text{falha}) = 0,2
P(C\\ \text{falha}) = 0,3
Os componentes funcionam ou falham de forma independente. A pergunta é: qual é P(\text{o sistema funciona nas 24 h}) neste cenário?

Passo 2

Explicação do raciocínio e conceitos usados (aula rápida e passo a passo):
  • Complemento: a probabilidade de um evento “pelo menos um funciona” é o complemento da probabilidade “nenhum funciona” (ou seja, todos falham). Em símbolos:
P(\text{pelo menos um funciona}) = 1 - P(\text{nenhum funciona}).
Isto vem da regra básica de probabilidade: P(E) + P(E^c) = 1, onde E^c é o evento complementar de E.
  • Independência: como A, B e C são independentes, a probabilidade de todos os três falharem é o produto das probabilidades individuais de falha:
P(\text{todos falham}) = P(A\\ \text{falha})\cdot P(B\\ \text{falha})\cdot P(C\\ \text{falha}).
Independência significa, de forma simples, que a ocorrência da falha de um não altera a probabilidade de falha dos outros; por isso multiplicamos.

Passo 3

Calcule P(\text{todos falham}) usando os números dados:
P(\text{todos falham}) = 0,1 \cdot 0,2 \cdot 0,3.
Façamos a multiplicação em duas etapas para ficar claro:
0,1 \cdot 0,2 = 0,02,
0,02 \cdot 0,3 = 0,006.
Portanto,
P(\text{todos falham}) = 0,006.

Passo 4

Agora aplicamos o complemento para obter a probabilidade de o sistema funcionar (pelo menos um funcionando):
P(\text{sistema funciona}) = 1 - P(\text{todos falham}) = 1 - 0,006 = 0,994.
Interpretação: a chance do sistema sobreviver às 24 h é 0,994, ou 99{,}4\%. Bom resultado — é o efeito do paralelismo: mesmo com componentes relativamente frágeis, juntar vários em paralelo aumenta muito a confiabilidade.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, para aprender outra técnica — inclusão-exclusão): calcular diretamente P(A\cup B\cup C) onde agora usamos as probabilidades de “funcionar”:
  • P(A\\ \text{funciona}) = 1-0,1 = 0,9
  • P(B\\ \text{funciona}) = 1-0,2 = 0,8
  • P(C\\ \text{funciona}) = 1-0,3 = 0,7
Pela fórmula da união (inclusão-exclusão) para três eventos:
P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P\text{(C)}-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).
Como são independentes, P(A\cap B)=0,9\cdot0,8=0,72, P(A\cap C)=0,9\cdot0,7=0,63, P(B\cap C)=0,8\cdot0,7=0,56, e P(A\cap B\cap C)=0,9\cdot0,8\cdot0,7=0,504.
Substituindo:
P(A\cup B\cup C)=0,9+0,8+0,7-(0,72+0,63+0,56)+0,504
=2,4-1,91+0,504=0,994,
mesmo resultado — ótima checagem.

Resposta

0,994

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