Considere um sistema elétrico com três componentes: A, B e C. A, B e C funcionam (ou falham) de forma independente. As probabilidades de falha de cada um num período de 24 h são:
falha
falha
falha
Calcule a probabilidade de o sistema funcionar nas 24 h nos seguintes cenários:
Os 3 componentes estão em paralelo. (O sistema funciona se A ou B ou C funcionar, i.e., se pelo menos um funcionar).
Calcule a probabilidade de o sistema funcionar nas 24 h nos seguintes cenários:
Os 3 componentes estão em paralelo. (O sistema funciona se A ou B ou C funcionar, i.e., se pelo menos um funcionar).
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de o sistema funcionar nas 24 h quando os três componentes
,
e
estão em paralelo (ou seja, o sistema funciona se pelo menos um dos componentes funcionar). As informações fornecidas são:
Os componentes funcionam ou falham de forma independente. A pergunta é: qual é
neste cenário?
Passo 2
Explicação do raciocínio e conceitos usados (aula rápida e passo a passo):
- Complemento: a probabilidade de um evento “pelo menos um funciona” é o complemento da probabilidade “nenhum funciona” (ou seja, todos falham). Em símbolos:
Isto vem da regra básica de probabilidade:
, onde
é o evento complementar de
.
- Independência: como
, e são independentes, a probabilidade de todos os três falharem é o produto das probabilidades individuais de falha:
Independência significa, de forma simples, que a ocorrência da falha de um não altera a probabilidade de falha dos outros; por isso multiplicamos.
Passo 3
Calcule
usando os números dados:
Façamos a multiplicação em duas etapas para ficar claro:
Portanto,
Passo 4
Agora aplicamos o complemento para obter a probabilidade de o sistema funcionar (pelo menos um funcionando):
Interpretação: a chance do sistema sobreviver às 24 h é
, ou
. Bom resultado — é o efeito do paralelismo: mesmo com componentes relativamente frágeis, juntar vários em paralelo aumenta muito a confiabilidade.
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, para aprender outra técnica — inclusão-exclusão): calcular diretamente
onde agora usamos as probabilidades de “funcionar”:
Pela fórmula da união (inclusão-exclusão) para três eventos:
Como são independentes,
,
,
, e
.
Substituindo:
Substituindo:
mesmo resultado — ótima checagem.