Uma urna contém 10 bolas: 5 Brancas (B), 3 Vermelhas (V) e 2 Azuis (A). Duas bolas são retiradas da urna, sem reposição. Calcule a probabilidade de:
A segunda bola ser Vermelha (sem saber a cor da primeira).
A segunda bola ser Vermelha (sem saber a cor da primeira).
Passo 1
O enunciado fornece uma urna com
bolas:
Brancas (B),
Vermelhas (V) e
Azuis (A). Duas bolas são retiradas sem reposição (ou seja, a primeira retirada não volta para a urna antes da segunda). A pergunta é: qual é a probabilidade de que a segunda bola seja Vermelha, sem sabermos nada sobre a cor da primeira?
Informações relevantes fornecidas:
- Total de bolas:
. - Quantidade de bolas Vermelhas:
. - Quantidade de bolas Brancas:
. - Quantidade de bolas Azuis:
. - Amostras sem reposição, retiradas em sequência (ordem importa para identificar “segunda bola”).
Passo 2
Vamos definir eventos para organizar a conta:
- Seja
o evento “a segunda bola é Vermelha”. - Seja
o evento “a primeira bola é Vermelha”. - Seja
o evento “a primeira bola é Branca”. - Seja
o evento “a primeira bola é Azul”.
Como não sabemos a cor da primeira, a forma natural é usar a fórmula da probabilidade total (somar as probabilidades condicionais de
dado cada possível cor da primeira bola, ponderadas pela probabilidade de cada cor ter saído na primeira retirada).
A fórmula da probabilidade total, aplicada aqui, é
Vou calcular cada termo separadamente.
Passo 3
Calcular as probabilidades de cada cor sair na primeira retirada (essas são as probabilidades simples de
,
e
):
- Probabilidade de a primeira ser Vermelha:
pois há
vermelhas entre
bolas.
- Probabilidade de a primeira ser Branca:
- Probabilidade de a primeira ser Azul:
Passo 4
Calcular as probabilidades condicionais
, ou seja, a probabilidade de a segunda ser Vermelha dado cada possível cor da primeira:
- Se a primeira foi Vermelha (
), então restam bolas no total e restam vermelhas. Logo
- Se a primeira foi Branca (
), então as vermelhas ainda estão todas na urna e restam bolas no total. Logo
- Se a primeira foi Azul (
), de modo análogo as vermelhas continuam e restam bolas, portanto
Passo 5
Agora substituímos tudo na fórmula da probabilidade total:
Passo 6
Fazendo as multiplicações termo a termo (vou colocar tudo com denominador comum para facilitar):
Somando:
Passo 7
Simplificando a fração:
pois
e
têm fator comum
:
e
.
Passo 8
Interpretação e atalho útil para a prova: o resultado
é exatamente a proporção inicial de bolas vermelhas na urna. Há um argumento por simetria/contagem simples que explica isso sem muita conta: todos os
lugares possíveis na sequência de retiradas (considerando a posição, por exemplo “segunda bola”) são igualmente prováveis de conter qualquer bola específica; assim a chance de a bola que ocupa a posição 2 ser uma vermelha é simplesmente a fração de vermelhas na urna inicialmente, isto é
. Uma verificação por contagem ordenada: há
sequências ordenadas possíveis; para que a segunda seja vermelha há
escolhas para a bola vermelha na segunda posição e
escolhas para a primeira, dando
sequências favoráveis, resultando em
.
Dica para prova: quando se pede a probabilidade de uma posição específica numa amostragem sem reposição (como “segunda bola”), muitas vezes a resposta é simplesmente a proporção inicial daquele tipo de objeto (por simetria), então vale checar esse atalho para poupar tempo.