Uma urna contém 10 bolas: 5 Brancas (B), 3 Vermelhas (V) e 2 Azuis (A). Duas bolas são retiradas da urna, sem reposição. Calcule a probabilidade de:
A segunda bola ser Vermelha (sem saber a cor da primeira).

Passo 1

O enunciado fornece uma urna com 10 bolas: 5 Brancas (B), 3 Vermelhas (V) e 2 Azuis (A). Duas bolas são retiradas sem reposição (ou seja, a primeira retirada não volta para a urna antes da segunda). A pergunta é: qual é a probabilidade de que a segunda bola seja Vermelha, sem sabermos nada sobre a cor da primeira?
Informações relevantes fornecidas:
  • Total de bolas: 10.
  • Quantidade de bolas Vermelhas: 3.
  • Quantidade de bolas Brancas: 5.
  • Quantidade de bolas Azuis: 2.
  • Amostras sem reposição, retiradas em sequência (ordem importa para identificar “segunda bola”).

Passo 2

Vamos definir eventos para organizar a conta:
  • Seja R_2 o evento “a segunda bola é Vermelha”.
  • Seja V_1 o evento “a primeira bola é Vermelha”.
  • Seja B_1 o evento “a primeira bola é Branca”.
  • Seja A_1 o evento “a primeira bola é Azul”.
Como não sabemos a cor da primeira, a forma natural é usar a fórmula da probabilidade total (somar as probabilidades condicionais de R_2 dado cada possível cor da primeira bola, ponderadas pela probabilidade de cada cor ter saído na primeira retirada).
A fórmula da probabilidade total, aplicada aqui, é
P(R_2)=P(R_2\mid V_1)\,P(V_1)+P(R_2\mid B_1)\,P(B_1)+P(R_2\mid A_1)\,P(A_1).
Vou calcular cada termo separadamente.

Passo 3

Calcular as probabilidades de cada cor sair na primeira retirada (essas são as probabilidades simples de V_1, B_1 e A_1):
  • Probabilidade de a primeira ser Vermelha:
P(V_1)=\frac{3}{10},
pois há 3 vermelhas entre 10 bolas.
  • Probabilidade de a primeira ser Branca:
P(B_1)=\frac{5}{10}.
  • Probabilidade de a primeira ser Azul:
P(A_1)=\frac{2}{10}.

Passo 4

Calcular as probabilidades condicionais P(R_2\mid \cdot), ou seja, a probabilidade de a segunda ser Vermelha dado cada possível cor da primeira:
  • Se a primeira foi Vermelha ( V_1), então restam 9 bolas no total e restam 2 vermelhas. Logo
P(R_2\mid V_1)=\frac{2}{9}.
  • Se a primeira foi Branca ( B_1), então as 3 vermelhas ainda estão todas na urna e restam 9 bolas no total. Logo
P(R_2\mid B_1)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.
  • Se a primeira foi Azul ( A_1), de modo análogo as 3 vermelhas continuam e restam 9 bolas, portanto
P(R_2\mid A_1)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Agora substituímos tudo na fórmula da probabilidade total:
P(R_2)=\left(\frac{2}{9}\right)\left(\frac{3}{10}\right)+\left(\frac{3}{9}\right)\left(\frac{5}{10}\right)+\left(\frac{3}{9}\right)\left(\frac{2}{10}\right).

Passo 6

Fazendo as multiplicações termo a termo (vou colocar tudo com denominador comum para facilitar):
\begin{aligned} \left(\frac{2}{9}\right)\left(\frac{3}{10}\right)&=\frac{6}{90},\\[4pt] \left(\frac{3}{9}\right)\left(\frac{5}{10}\right)&=\frac{15}{90},\\[4pt] \left(\frac{3}{9}\right)\left(\frac{2}{10}\right)&=\frac{6}{90}. \end{aligned}
Somando:
P(R_2)=\frac{6}{90}+\frac{15}{90}+\frac{6}{90}=\frac{27}{90}.]

Passo 7

Simplificando a fração:
\frac{27}{90}=\frac{3}{10},
pois 27 e 90 têm fator comum 9: 27/9=3 e 90/9=10.

Passo 8

Interpretação e atalho útil para a prova: o resultado \frac{3}{10} é exatamente a proporção inicial de bolas vermelhas na urna. Há um argumento por simetria/contagem simples que explica isso sem muita conta: todos os 10 lugares possíveis na sequência de retiradas (considerando a posição, por exemplo “segunda bola”) são igualmente prováveis de conter qualquer bola específica; assim a chance de a bola que ocupa a posição 2 ser uma vermelha é simplesmente a fração de vermelhas na urna inicialmente, isto é \frac{3}{10}. Uma verificação por contagem ordenada: há 10\cdot 9=90 sequências ordenadas possíveis; para que a segunda seja vermelha há 3 escolhas para a bola vermelha na segunda posição e 9 escolhas para a primeira, dando 3\cdot 9=27 sequências favoráveis, resultando em 27/90=\tfrac{3}{10}.
Dica para prova: quando se pede a probabilidade de uma posição específica numa amostragem sem reposição (como “segunda bola”), muitas vezes a resposta é simplesmente a proporção inicial daquele tipo de objeto (por simetria), então vale checar esse atalho para poupar tempo.

Resposta

\dfrac{3}{10}

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