Seja (\Omega, \mathcal{F}, P) um espaço de probabilidade. Considere dois eventos A e B onde:
P(A)=0.5
P(B)=0.4
P(A \cup B)=0.7
(a) Calcule P(A \cap B).
(b) Os eventos A e B são independentes? Justifique com cálculos.
(c) Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá os valores das probabilidades e pede três coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que precisa ser encontrado.
Dados:
  • P(A)=0,5
  • P(B)=0,4
  • P(A\cup B)=0,7
Perguntas:
  • (a) Calcular P(A\cap B).
  • (b) Determinar se A e B são independentes, justificando com cálculos.
  • (c) Determinar se A e B são mutuamente exclusivos, justificando.

Passo 2

Vamos revisar a fórmula que liga união e interseção de dois eventos (essa é uma ferramenta básica e muito usada).
Fórmula da adição (inclusão-exclusão) para dois eventos:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
O que cada símbolo significa:
  • P(A\cup B) é a probabilidade de ocorrer A ou B (ou ambos).
  • P(A) e P(B) são as probabilidades de A e B individualmente.
  • P(A\cap B) é a probabilidade de ocorrerem ambos A e B ao mesmo tempo.
Se precisarmos achar P(A\cap B), isolamos essa variável na fórmula:
P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B).
Isso é só álgebra linear simples: subtrair P(A\cup B) dos dois lados e juntar termos.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números fornecidos para encontrar P(A\cap B).
Substituímos P(A)=0,5, P(B)=0,4 e P(A\cup B)=0,7 na fórmula:
P(A\cap B)=0,5+0,4-0,7.
Agora fazemos a conta passo a passo (sem pular etapas):
Primeiro some 0,5 e 0,4:
0,5+0,4=0,9.
Depois subtraia 0,7:
0,9-0,7=0,2.
Portanto,
P(A\cap B)=0,2.

Passo 4

Agora vamos falar de independência. Primeiro a definição clara e simples.
Definição: Dois eventos A e B são independentes se e somente se
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Isto significa que o fato de um ocorrer não altera a probabilidade do outro ocorrer.
Para verificar se são independentes, calculamos o produto P(A)P(B) e comparamos com o P(A\cap B) que já achamos.
Calculemos P(A)P(B):
P(A)P(B)=0,5\cdot0,4.
Multiplicação passo a passo:
0,5\cdot0,4=0,20.
Escrevendo com a vírgula brasileira: 0,2.
Comparando com a interseção que encontramos:
P(A\cap B)=0,2 \quad\text{e}\quad P(A)P(B)=0,2.
São exatamente iguais, logo pela definição eles são independentes.

Passo 5

Agora tratamos de eventos mutuamente exclusivos (ou disjuntos). Outra definição importante.
Definição: A e B são mutuamente exclusivos se não podem ocorrer simultaneamente, ou seja,
P(A\cap B)=0.
Isso significa interseção nula.
Verificamos com o valor que já calculamos:
P(A\cap B)=0,2\neq0.
Como a interseção não é zero, A e B não são mutuamente exclusivos.

Passo 6

Uma observação útil que costuma cair em prova: eventos com probabilidade positiva não podem ser ao mesmo tempo independentes e mutuamente exclusivos (exceto no caso degenerado em que uma das probabilidades é zero). A explicação rápida:
  • Se fossem mutuamente exclusivos, P(A\cap B)=0.
  • Se fossem também independentes, então P(A\cap B)=P(A)P(B).
  • Juntando as duas, P(A)P(B)=0, logo pelo menos uma das probabilidades seria zero.
    No nosso caso ambas são positivas ( 0,5 e 0,4), então não poderiam ser mutuamente exclusivas e independentes simultaneamente — aqui eles são independentes, portanto necessariamente não são mutuamente exclusivos (coerente com o que calculamos).

Resposta

(a) P(A\cap B)=0,2
(b) Sim, são independentes.
(c) Não, não são mutuamente exclusivos.

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