Seja
um espaço de probabilidade. Considere dois eventos
e
onde:
(a) Calcule
.
(b) Os eventos
e
são independentes? Justifique com cálculos.
(c) Os eventos
e
são mutuamente exclusivos? Justifique.
(a) Calcule
(b) Os eventos
(c) Os eventos
Passo 1
O enunciado dá os valores das probabilidades e pede três coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que precisa ser encontrado.
Dados:
Perguntas:
- (a) Calcular
. - (b) Determinar se
e são independentes, justificando com cálculos. - (c) Determinar se
e são mutuamente exclusivos, justificando.
Passo 2
Vamos revisar a fórmula que liga união e interseção de dois eventos (essa é uma ferramenta básica e muito usada).
Fórmula da adição (inclusão-exclusão) para dois eventos:
O que cada símbolo significa:
-
é a probabilidade de ocorrer ou (ou ambos). -
e são as probabilidades de e individualmente. -
é a probabilidade de ocorrerem ambos e ao mesmo tempo.
Se precisarmos achar
, isolamos essa variável na fórmula:
Isso é só álgebra linear simples: subtrair
dos dois lados e juntar termos.
Passo 3
Aplicando a fórmula com os números fornecidos para encontrar
.
Substituímos
,
e
na fórmula:
Agora fazemos a conta passo a passo (sem pular etapas):
Primeiro some e
:
Primeiro some
Depois subtraia
:
Portanto,
Passo 4
Agora vamos falar de independência. Primeiro a definição clara e simples.
Definição: Dois eventos
e
são independentes se e somente se
Isto significa que o fato de um ocorrer não altera a probabilidade do outro ocorrer.
Para verificar se são independentes, calculamos o produto
e comparamos com o
que já achamos.
Calculemos
:
Multiplicação passo a passo:
Escrevendo com a vírgula brasileira:
.
Comparando com a interseção que encontramos:
São exatamente iguais, logo pela definição eles são independentes.
Passo 5
Agora tratamos de eventos mutuamente exclusivos (ou disjuntos). Outra definição importante.
Definição:
e
são mutuamente exclusivos se não podem ocorrer simultaneamente, ou seja,
Isso significa interseção nula.
Verificamos com o valor que já calculamos:
Como a interseção não é zero,
e
não são mutuamente exclusivos.
Passo 6
Uma observação útil que costuma cair em prova: eventos com probabilidade positiva não podem ser ao mesmo tempo independentes e mutuamente exclusivos (exceto no caso degenerado em que uma das probabilidades é zero). A explicação rápida:
- Se fossem mutuamente exclusivos,
. - Se fossem também independentes, então
. - Juntando as duas,
, logo pelo menos uma das probabilidades seria zero.
No nosso caso ambas são positivas (e ), então não poderiam ser mutuamente exclusivas e independentes simultaneamente — aqui eles são independentes, portanto necessariamente não são mutuamente exclusivos (coerente com o que calculamos).
Resposta
(a)
(b) Sim, são independentes.
(c) Não, não são mutuamente exclusivos.