Considere um sistema de 3 elétrons não interagentes em seus estados fundamentais em um poço unidimensional de potencial infinito. (b) Encontre a função de onda para o sistema no estado fundamental.

Passo 1

Beleza, então o problema diz: temos 3 elétrons que não se interagem num poço infinito unidimensional (de 0 a L) e queremos achar a função de onda total do sistema no estado fundamental.
Conteúdo: mecânica quântica de partículas idênticas (elétrons são férmions), poço infinito, princípio de exclusão de Pauli e construção de determinante de Slater.
O que vamos precisar:
  1. As autofunções de uma partícula no poço infinito.
  2. Entender spin-½ e a ideia de spin-órbita.
  3. Saber montar o determinante de Slater pra garantir antissimetria.

Passo 2

Primeiro, lembrando a parte do poço infinito:
– As autofunções espaciais (sem spin) são
phin(x) = raiz2L;sin!l(tfracnpi xLr), n=1,2,3,dots
– Cada nível tem energia .
Como elétrons têm spin-½, cada pode vir com spin “up” ( ) ou “down” ( ), mas não podemos colocar dois elétrons no mesmo estado espacial+spin (Pauli).

Passo 3

Agora, vamos “preencher” os três elétrons no estado fundamental:
  1. Dois elétrons ocupam Psi1(x,s)&=phi1(x),alpha(s), Psi2(x,s)&=phi1(x),beta(s), Psi3(x,s)&=phi2(x),alpha(s) , um com spin up ( ) e outro com spin down ( ).
  2. O terceiro elétron sobe para ; escolha, por exemplo, spin up ( ).
    Isso nos dá três spin-órbitas diferentes:
Aqui e são as funções de spin ( = “up” ou “down”).

Passo 4

Para garantir a antissimetria total do estado de três férmions, montamos o determinante de Slater:
Psi(x1,s1;,x2,s2;,x3,s3) =1raiz3! Psi1(x1,s1) & Psi2(x1,s1) & Psi3(x1,s1)[6pt] Psi1(x2,s2) & Psi2(x2,s2) & Psi3(x2,s2)[6pt] Psi1(x3,s3) & Psi2(x3,s3) & Psi3(x3,s3)
Substituindo as spin-órbitas:
Psi = 1raiz6 phi1(x1)alpha(s1) & phi1(x1)beta(s1) & phi2(x1)alpha(s1) phi1(x2)alpha(s2) & phi1(x2)beta(s2) & phi2(x2)alpha(s2) phi1(x3)alpha(s3) & phi1(x3)beta(s3) & phi2(x3)alpha(s3)
Pronto, essa é a função de onda total no estado fundamental: ela muda de sinal quando trocamos dois elétrons, respeitando Pauli.

Resposta

boxed Psi(x1,s1;,x2,s2;,x3,s3) =1raiz6 phi1(x1)alpha(s1) & phi1(x1)beta(s1) & phi2(x1)alpha(s1)[4pt] phi1(x2)alpha(s2) & phi1(x2)beta(s2) & phi2(x2)alpha(s2)[4pt] phi1(x3)alpha(s3) & phi1(x3)beta(s3) & phi2(x3)alpha(s3) ,
com .

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