Considere um sistema de 3 elétrons não interagentes em seus estados fundamentais em um poço unidimensional de potencial infinito. (b) Encontre a função de onda para o sistema no estado fundamental.
Passo 1
Beleza, então o problema diz: temos 3 elétrons que não se interagem num poço infinito unidimensional (de 0 a L) e queremos achar a função de onda total do sistema no estado fundamental.
Conteúdo: mecânica quântica de partículas idênticas (elétrons são férmions), poço infinito, princípio de exclusão de Pauli e construção de determinante de Slater.
O que vamos precisar:
As autofunções de uma partícula no poço infinito.
Entender spin-½ e a ideia de spin-órbita.
Saber montar o determinante de Slater pra garantir antissimetria.
Passo 2
Primeiro, lembrando a parte do poço infinito:
– As autofunções espaciais (sem spin) são
– Cada nível tem energia .
Como elétrons têm spin-½, cada pode vir com spin “up” () ou “down” (), mas não podemos colocar dois elétrons no mesmo estado espacial+spin (Pauli).
Passo 3
Agora, vamos “preencher” os três elétrons no estado fundamental:
Dois elétrons ocupam , um com spin up () e outro com spin down ().
O terceiro elétron sobe para ; escolha, por exemplo, spin up ().
Isso nos dá três spin-órbitas diferentes:
Aqui e são as funções de spin ( = “up” ou “down”).
Passo 4
Para garantir a antissimetria total do estado de três férmions, montamos o determinante de Slater: