Considere um sistema de 2 elétrons não interagentes em seus estados fundamentais em um poço unidimensional de potencial infinito. (d) Para este último caso, calcule a energia do sistema. Qual é a energia de cada partícula individual.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um poço infinito unidimensional (ou “caixinha quântica”) com comprimento L e dois elétrons que não interagem entre si, cada um com spin ½. Na parte (d) querem a energia total do sistema no estado fundamental e também a energia de cada partícula.
Conteúdo: mecânica quântica – poço de potencial infinito e princípio de exclusão de Pauli.
O que precisamos:
  1. a expressão dos níveis de energia de um elétron num poço infinito;
  2. saber que cada nível de energia suporta dois elétrons (spins opostos).

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula dos níveis de energia no poço infinito 1D. Resolvendo a equação de Schrödinger dá:
En ;=; hbar^2pi^2,n^22,m,L^2,, n=1,2,3,dots
Aqui m é a massa do elétron, L é o tamanho do poço e n é o “número quântico” do nível.

Passo 3

Agora o princípio de exclusão de Pauli manda que dois elétrons não podem ocupar o mesmo estado quântico completo. Mas eles podem ficar no mesmo nível espacial (mesmo n) se tiverem spins opostos.
No estado fundamental do sistema:
– Nível mais baixo: n=1.
– Dois elétrons podem caber ali (um spin ↑, outro spin ↓).

Passo 4

Cada elétron, no estado fundamental, fica em n=1, então sua energia é
E1 = hbar^2pi^22,m,L^2,
Como são dois elétrons não interagentes, a energia total é a soma:
Erm total = E1 + E1 = 2,E1 = 2 ;hbar^2pi^22,m,L^2 = hbar^2pi^2m,L^2,

Resposta

Energia de cada partícula:
Erm individual = hbar^2pi^22,m,L^2
Energia total do sistema:
Erm total = hbar^2pi^2m,L^2

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