Considere o sistema de equações lineares abaixo:
\left\{\begin{aligned} x+3 y+4 z & =-5 \\\\ 3 x+2 y+z & =8 \\\\ 2 x+4 y+3 z & =4 \end{aligned}\right.
Resolva-o:
Usando operações elementares.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x + 3y + 4z = -5,\\\\ 3x + 2y + z = 8,\\\\ 2x + 4y + 3z = 4 \end{cases}
usando operações elementares (eliminação de Gauss). Vamos montar a matriz aumentada e aplicar pivôs para eliminar variáveis e chegar a uma forma triangular.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada do sistema:
\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 4 & -5\\\\ 3 & 2 & 1 & 8\\\\ 2 & 4 & 3 & 4 \end{array} \right]
o primeiro pivô é o elemento \,1 da primeira linha e primeira coluna, que já está normalizado.

Passo 3

Eliminamos a variável x das linhas 2 e 3 usando a linha 1:
R_{2}\leftarrow R_{2}-3\,R_{1},\qquad R_{3}\leftarrow R_{3}-2\,R_{1}.
Isso produz a nova matriz
\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 4 & -5\\\\ 0 & -7 & -11 & 23\\\\ 0 & -2 & -5 & 14 \end{array} \right].

Passo 4

O segundo pivô é -7 na posição (2,2). Agora eliminamos y da linha 3 combinando linhas 2 e 3 de forma a anular o coeficiente de y em R_{3}. Por exemplo, multiplica-se R_{2} por 2 e R_{3} por 7 e subtrai-se:
7\,R_{3} - 2\,R_{2}: \quad 7(-2y -5z)= -14y -35z,\; 2(-7y -11z)= -14y -22z,
(-14y-35z)-(-14y-22z) = -13z,\qquad 7\cdot14 - 2\cdot23 = 98 - 46 = 52.
Logo, na linha 3 surge a equação -13z = 52.

Passo 5

A matriz agora está triangular:
\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 4 & -5\\\\ 0 & -7 & -11 & 23\\\\ 0 & 0 & -13 & 52 \end{array} \right].
Da última linha obtemos imediatamente
-13\,z = 52 \quad\Longrightarrow\quad z = -4.

Passo 6

Substituindo z=-4 na segunda linha (equação -7y -11z =23):
-7y - 11(-4) = 23 \;\Longrightarrow\; -7y +44 =23 \;\Longrightarrow\; -7y = -21 \;\Longrightarrow\; y = 3.

Passo 7

Finalmente, substituímos y=3 e z=-4 na primeira equação x + 3y + 4z = -5:
x + 3\cdot3 + 4\cdot(-4) = -5 \;\Longrightarrow\; x +9 -16 = -5 \;\Longrightarrow\; x -7 = -5 \;\Longrightarrow\; x = 2.

Resposta

(x,y,z) = (2,\,3,\,-4)

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