Resolva os sistemas de equações lineares abaixo, usando a Regra de Cramer:
\left\{\begin{aligned} 2 x+3 y & =z+1 \\\\ 3 x+2 z & =8-5 y \\\\ 3 z-1 & =x-2 y\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva o sistema
\begin{cases} 2x + 3y = z + 1,\\\\ 3x + 2z = 8 - 5y,\\\\ 3z - 1 = x - 2y \end{cases}
usando a Regra de Cramer. O conteúdo aqui é solução de sistema linear 3\times3 usando determinantes.

Passo 2

Primeiro vamos pôr o sistema na forma padrão A\mathbf{v}=\mathbf{b}.
Da primeira equação tiramos 2x+3y - z = 1.
Da segunda: 3x+5y+2z = 8.
Da terceira: x -2y -3z = -1.
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A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1\\\\ 3 & 5 & 2\\\\ 1 & -2 & -3 \end{pmatrix},\quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}1\\\ 8\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Pela Regra de Cramer o determinante principal é
D = \det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1\\\\ 3 & 5 & 2\\\\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix} =2\bigl(5\cdot(-3)-2\cdot(-2)\bigr) -3\bigl(3\cdot(-3)-2\cdot1\bigr) -1\bigl(3\cdot(-2)-5\cdot1\bigr) =22.

Passo 4

Agora substituímos cada coluna de A por \mathbf b para obter D_x,D_y,D_z:
D_x = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1\\\\ 8 & 5 & 2\\\\ -1 & -2 & -3 \end{vmatrix} =66,\quad D_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1\\\\ 3 & 8 & 2\\\\ 1 & -1 & -3 \end{vmatrix} =-22,\quad D_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 3 & 5 & 8\\\\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} =44.

Passo 5

Pela regra de Cramer cada incógnita é
x = \frac{D_x}{D} = \frac{66}{22} = 3,\quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{-22}{22} = -1,\quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{44}{22} = 2.

Resposta

x=3,\;y=-1,\;z=2.

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