Considere o sistema de equações lineares abaixo:
\left\{\begin{aligned} x+3 y+4 z & =-5 \\\\ 3 x+2 y+z & =8 \\\\ 2 x+4 y+3 z & =4 \end{aligned}\right.
Resolva-o:
Usando o Método de Gauss.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x + 3y + 4z = -5,\\\\ 3x + 2y + z = 8,\\\\ 2x + 4y + 3z = 4 \end{cases}
e pede para resolvê-lo usando o método de eliminação de Gauss, que consiste em montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para chegar a um sistema triangular, facilitando a substituição regressiva.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 4 & -5\\\\ 3 & 2 & 1 & 8\\\\ 2 & 4 & 3 & 4 \end{array}\right).

Passo 3

Eliminamos os termos abaixo do pivô da primeira coluna (entrada (1,1)):
  • Para zerar o elemento na linha 2, fazemos R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1.
  • Para zerar o elemento na linha 3, fazemos R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
    Isso gera:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 4 & -5\\\\ 0 & -7 & -11 & 23\\\\ 0 & -2 & -5 & 14 \end{array}\right).

Passo 4

Agora eliminamos o termo abaixo do pivô da segunda coluna (entrada (2,2)):
Para zerar o elemento na linha 3, multiplica-mos R_3 por 7 e subtraímos 2 vezes R_2:
R_3 \leftarrow 7R_3 - 2R_2 \;\Longrightarrow\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 4 & -5\\\\ 0 & -7 & -11 & 23\\\\ 0 & 0 & -13 & 52 \end{array}\right).

Passo 5

Fazemos a substituição regressiva a partir da última equação:
Da terceira linha vem
-13z = 52 \quad\Longrightarrow\quad z = -4.
Substituindo na segunda linha,
-7y - 11(-4) = 23 \quad\Longrightarrow\quad -7y + 44 = 23 \quad\Longrightarrow\quad y = 3.
Por fim, na primeira linha,
x + 3\cdot 3 + 4\cdot(-4) = -5 \quad\Longrightarrow\quad x + 9 - 16 = -5 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.

Resposta

x = 2,\; y = 3,\; z = -4.

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