Considere o sistema de equações lineares abaixo:
\left\{\begin{aligned} x+3 y+4 z & =-5 \\\\ 3 x+2 y+z & =8 \\\\ 2 x+4 y+3 z & =4 \end{aligned}\right.
Resolva-o:
Usando a Regra de Cramer.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x + 3y + 4z = -5,\\\\ 3x + 2y + z = 8,\\\\ 2x + 4y + 3z = 4 \end{cases}
usando a Regra de Cramer. Vamos aplicar o método de determinantes: calcular o determinante D da matriz dos coeficientes e, em seguida, os determinantes D_x, D_y e D_z, obtendo
x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D},\quad z = \frac{D_z}{D}.

Passo 2

Calculamos o determinante D da matriz dos coeficientes:
D = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4\\\\ 3 & 2 & 1\\\\ 2 & 4 & 3 \end{vmatrix} =1\,(2\cdot3-1\cdot4)-3\,(3\cdot3-1\cdot2)+4\,(3\cdot4-2\cdot2) =2-21+32=13.

Passo 3

Substituímos a primeira coluna pelos termos independentes para achar D_x:
D_x = \begin{vmatrix} -5 & 3 & 4\\\\ 8 & 2 & 1\\\\ 4 & 4 & 3 \end{vmatrix} =-5\,(2\cdot3-1\cdot4)-3\,(8\cdot3-1\cdot4)+4\,(8\cdot4-2\cdot4) =-10-60+96=26.
Logo,
x = \frac{D_x}{D} = \frac{26}{13} = 2.

Passo 4

Fazemos a mesma troca na segunda coluna para obter D_y:
D_y = \begin{vmatrix} 1 & -5 & 4\\\\ 3 & 8 & 1\\\\ 2 & 4 & 3 \end{vmatrix} =1\,(8\cdot3-1\cdot4)-(-5)\,(3\cdot3-1\cdot2)+4\,(3\cdot4-8\cdot2) =20+35-16=39.
Portanto,
y = \frac{D_y}{D} = \frac{39}{13} = 3.

Passo 5

Finalmente, substituímos a terceira coluna para calcular D_z:
D_z = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -5\\\\ 3 & 2 & 8\\\\ 2 & 4 & 4 \end{vmatrix} =1\,(2\cdot4-8\cdot4)-3\,(3\cdot4-8\cdot2)+(-5)\,(3\cdot4-2\cdot2) =-24+12-40=-52.
Logo,
z = \frac{D_z}{D} = \frac{-52}{13} = -4.

Resposta

x=2, y=3 e z=-4.

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