Usando operações elementares, encontre A^{-1}, onde:
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ 2 & -1 & 3 \\\\ 4 & 1 & 8\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de A^{-1} usando operações elementares (método de Gauss–Jordan). A ideia é montar a matriz aumentada [A\mid I], aplicar combinações de linhas para obter [I\mid A^{-1}] no final.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada [A\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 2 & -1 & 3 & 0 & 1 & 0\\\\ 4 & 1 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo do pivô (1,1). Aplicamos
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\,\text{R}_1
e
\text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 4\,\text{R}_1.
Isso gera
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Agora pivotamos na segunda linha. Primeiro normalizamos o pivô em (2,2):
\text{R}_2 \leftarrow -1\cdot\text{R}_2,
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \end{array}\right].
Em seguida eliminamos a entrada em (3,2):
\text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \text{R}_2,
ficando
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & -6 & 1 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Por fim, normalizamos o pivô em (3,3) e eliminamos as outras entradas na coluna 3. Primeiro
\text{R}_3 \leftarrow -1\cdot\text{R}_3,
para ter pivô igual a 1:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 6 & -1 & -1 \end{array}\right].
Depois eliminamos em (1,3) e (2,3):
\text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 - 2\,\text{R}_3,
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - \text{R}_3,
resultando em
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -11 & 2 & 2\\\\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 6 & -1 & -1 \end{array}\right].

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -11 & 2 & 2\\\\ -4 & 0 & 1\\\\ 6 & -1 & -1 \end{pmatrix}.

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