Considere o sistema de equações lineares A x=b. Seja B a matriz ampliada do sistema, ou seja, B=[A \mid b]. Analise cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira prove, se for falsa dê um contra-exemplo.
Se B possui uma linha formada somente por zeros, então existe mais de uma solução para o sistema

Passo 1

O enunciado considera o sistema linear A x = b e sua matriz ampliada B = [A \mid b]. A afirmação é: “Se B possui uma linha formada somente por zeros, então existe mais de uma solução para o sistema”. Vamos ver se essa conclusão é válida lendo teoria de existência e unicidade de soluções.

Passo 2

Lembrete teórico: o sistema A x = b tem
  • nenhuma solução se \rank(A)<\rank(B),
  • infinitas soluções se \rank(A)=\rank(B)<n,
  • solução única se \rank(A)=\rank(B)=n,
    onde n é o número de incógnitas. Uma linha zero em B significa apenas que uma equação é 0=0, logo \rank(B) caiu em relação ao número de linhas originais, mas isso não impõe necessariamente \rank(A)<n.

Passo 3

Para haver mais de uma solução precisamos de \rank(A)=\rank(B)<n. A linha zero em B garante \rank(B)\le m-1 (se havia m linhas), mas se m>n for suficientemente grande, ainda pode acontecer de \rank(A)=n. Assim, mesmo com uma linha toda zero em B, é possível manter \rank(A)=n e ter solução única.

Passo 4

Contra-exemplo concreto:
Considere três equações e duas incógnitas x,y:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad b=\begin{pmatrix} 2\\\\ 3\\\\ 0 \end{pmatrix}.
Então
B=[A\mid b] =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Aqui há uma linha zero em B, mas \rank(A)=2 e o número de incógnitas n=2, logo \rank(A)=n e existe solução única \bigl(x=2,\;y=3\bigr).

Resposta

A afirmação é falsa. O exemplo acima mostra um sistema com linha toda zero em B que, mesmo assim, tem solução única.

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