Considere o sistema de equações lineares A x=b. Seja B a matriz ampliada do sistema, ou seja, B=[A \mid b]. Analise cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira prove, se for falsa dê um contra-exemplo.
Se o sistema A x=b é consistente para alguma escolha de lado direito b, então o sistema é consistente para todo lado direito b.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear A x = b e pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
“Se o sistema A x = b é consistente para alguma escolha de lado direito b, então ele é consistente para todo b.”
Estamos no conteúdo de espaços coluna e condição de consistência de sistemas lineares. Para resolver, vamos usar o fato de que o sistema é consistente se, e somente se, b pertence ao espaço coluna de A.

Passo 2

Uma forma de ver consistência é:
O sistema A x = b tem solução se, e somente se,
b \in \mathrm{Col}(A),
ou seja, b pode ser escrito como combinação linear das colunas de A.
A afirmação “consistente para todo b” equivale a dizer \mathrm{Col}(A)=\mathbb{R}^m (onde A é m\times n), o que requer \operatorname{rank}(A)=m.
Mas o enunciado só exige consistência para algum b, o que não obriga \operatorname{rank}(A)=m. Logo, em geral a afirmação é falsa.

Passo 3

Vamos dar um contra-exemplo concreto. Seja
A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{e considere dois vetores } b_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad b_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para b_1\) o sistema é \[\begin{cases} 1\cdot x_1 + 0\cdot x_2 = 1,\\\\ 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 = 0, \end{cases}
que admite solução (por exemplo x_1=1\], \[x_2 livre). Logo Ax=b_1 é consistente.
Para b_2 o sistema é
\begin{cases} 1\cdot x_1 + 0\cdot x_2 = 0,\\\\ 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 = 1, \end{cases}
e a segunda equação diz 0=1\], impossível. Logo \(Ax=b_2 é inconsistente.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é
A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad b_1=(1,0)^T\text{ (consistente)},\quad b_2=(0,1)^T\text{ (inconsistente)}.

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