Considere o sistema de equações lineares A x=b. Seja B a matriz ampliada do sistema, ou seja, B=[A \mid b]. Analise cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira prove, se for falsa dê um contra-exemplo.
Se o sistema A x=b é consistente para alguma escolha de lado direito b, então o sistema é consistente para todo lado direito b.
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema linear A x = b e pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
“Se o sistema A x = b é consistente para alguma escolha de lado direito b, então ele é consistente para todo b.”
Estamos no conteúdo de espaços coluna e condição de consistência de sistemas lineares. Para resolver, vamos usar o fato de que o sistema é consistente se, e somente se, b pertence ao espaço coluna de A.
Passo 2
Uma forma de ver consistência é:
O sistema A x = b tem solução se, e somente se,
b \in \mathrm{Col}(A),
ou seja, b pode ser escrito como combinação linear das colunas de A.
A afirmação “consistente para todo b” equivale a dizer \mathrm{Col}(A)=\mathbb{R}^m (onde A é m\times n), o que requer \operatorname{rank}(A)=m.
Mas o enunciado só exige consistência para algum b, o que não obriga \operatorname{rank}(A)=m. Logo, em geral a afirmação é falsa.