Considere o sistema de equações lineares
. Seja
a matriz ampliada do sistema, ou seja,
. Analise cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira prove, se for falsa dê um contra-exemplo.
Se
é uma matriz
então posto(
) é no máximo
.
Se
Passo 1
O enunciado considera um sistema
com
de tamanho
e vetor
. A matriz ampliada é
, de tamanho
. Queremos ver se sempre vale
Para isso usamos a definição de posto como o número máximo de colunas linearmente independentes.
Passo 2
Cada coluna de
é um vetor em
. Num espaço de dimensão
, qualquer conjunto com mais de
vetores é linearmente dependente. Logo não pode haver mais do que
colunas de
que sejam independentes. Assim
Resposta
A afirmação é verdadeira.