Considere o sistema de equações lineares A x=b. Seja B a matriz ampliada do sistema, ou seja, B=[A \mid b]. Analise cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira prove, se for falsa dê um contra-exemplo.
Se A é uma matriz m \times n então posto( B ) é no máximo m.

Passo 1

O enunciado considera um sistema Ax=b com A de tamanho m\times n e vetor b\in\mathbb{R}^m. A matriz ampliada é B=[A\mid b], de tamanho m\times(n+1). Queremos ver se sempre vale
\mathrm{posto}(B)\le m.
Para isso usamos a definição de posto como o número máximo de colunas linearmente independentes.

Passo 2

Cada coluna de B é um vetor em \mathbb{R}^m. Num espaço de dimensão m, qualquer conjunto com mais de m vetores é linearmente dependente. Logo não pode haver mais do que m colunas de B que sejam independentes. Assim
\mathrm{posto}(B)\le m.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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