Considere um sistema de férmions livres:
Dada a relação de comutação fermiônica mais geral:
onde
é a função delta de Kronecker e as relações acima aparecem em sistemas com graus de liberdade adicionais, representados pelos índices
:
a) o que representam os operadores
e
?
b) encontre a partir do Hamiltoniano acima, a função de Fermi-Dirac considerando:
e
.
c) Obtenha as equações de Heisenberg para
e
.
a) o que representam os operadores
b) encontre a partir do Hamiltoniano acima, a função de Fermi-Dirac considerando:
c) Obtenha as equações de Heisenberg para
Passo 1
O enunciado define um sistema de férmions livres com Hamiltoniano
. Vamos precisar dos conceitos de operadores de criação/aniquilação de férmions, estatística de Fermi-Dirac e da formulação de Heisenberg para operadores.
Passo 2
Os operadores
e
são, respectivamente, o operador de aniquilação e de criação de um férmion num determinado modo quântico. Eles satisfazem as relações de anticomutador
e
. O operador
é o número de ocupação desse modo, com autovalores 0 ou 1 porque cada nível fermiônico só pode estar vazio ou ocupado.
Passo 3
Para achar a distribuição de Fermi-Dirac definimos a matriz densidade:
onde o traço é executado no espaço de ocupação do modo. Como
vale 0 para estado vazio (
) e
para estado ocupado (
), o particion function é
Então a média de
é
Passo 4
Na representação de Heisenberg, cada operador evolui segundo
Para
:
e para
:
Resposta
a)
e
são operadores de aniquilação e criação de férmions, e
conta o número de férmions (0 ou 1) no modo. b) A função de Fermi-Dirac é
c) As equações de Heisenberg são
cuja solução é
e
.