Considere um sistema de férmions livres:
H=varepsilon c^dag>=r c
Dada a relação de comutação fermiônica mais geral:
r ci, cj=ci^dag>=r, cj^dag>=r=0 ci, cj^dag>=r=de
onde de é a função delta de Kronecker e as relações acima aparecem em sistemas com graus de liberdade adicionais, representados pelos índices i, j :
a) o que representam os operadores c, c^dag>=r e n=c^dag>=r c ?
b) encontre a partir do Hamiltoniano acima, a função de Fermi-Dirac considerando:
rho=e^-beta HTr(e^-beta H),
e f(varepsilon)=lang<=nrang<==Tr(rho n).
c) Obtenha as equações de Heisenberg para c e c^dag>=r.

Passo 1

O enunciado define um sistema de férmions livres com Hamiltoniano H=varepsilon,c^dag>=rc. Vamos precisar dos conceitos de operadores de criação/aniquilação de férmions, estatística de Fermi-Dirac e da formulação de Heisenberg para operadores.

Passo 2

Os operadores c e c^dag>=r são, respectivamente, o operador de aniquilação e de criação de um férmion num determinado modo quântico. Eles satisfazem as relações de anticomutador c,c=c^dag>=r,c^dag>=r=0 e c,c^dag>=r=1. O operador n=c^dag>=rc é o número de ocupação desse modo, com autovalores 0 ou 1 porque cada nível fermiônico só pode estar vazio ou ocupado.

Passo 3

Para achar a distribuição de Fermi-Dirac definimos a matriz densidade:
rho = e^-betaHTr(e^-betaH) ,,
onde o traço é executado no espaço de ocupação do modo. Como H vale 0 para estado vazio ( n=0) e varepsilon para estado ocupado ( n=1), o particion function é
Z = Tr(e^-betaH) = 1 + e^-betavarepsilon,
Então a média de n é
f(varepsilon)=lang<=nrang<==0cdot1 + 1cdot e^-betavarepsilon1+e^-betavarepsilon=e^-betavarepsilon1+e^-betavarepsilon=1e^betavarepsilon+1,

Passo 4

Na representação de Heisenberg, cada operador evolui segundo
dOdt = i[H,O],
Para c:
[H,c] = [varepsilon,c^dag>=rc,,c] = -varepsilon,c Rightarrow dcdt = -ivarepsilon,c,,
e para c^dag>=r:
[H,c^dag>=r] = varepsilon,c^dag>=r Rightarrow dc^dag>=rdt = ivarepsilon,c^dag>=r,

Resposta

a) c e c^dag>=r são operadores de aniquilação e criação de férmions, e n=c^dag>=rc conta o número de férmions (0 ou 1) no modo. b) A função de Fermi-Dirac é
f(varepsilon)=lang<=nrang<==1e^betavarepsilon+1,
c) As equações de Heisenberg são
dcdt=-ivarepsilon,c,, dc^dag>=rdt=ivarepsilon,c^dag>=r,,
cuja solução é c(t)=c(0)e^-ivarepsilon t e c^dag>=r(t)=c^dag>=r(0)e^ivarepsilon t.

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