Considere um sistema de bósons livres:
H=hbar omega a^dag>=r a
Dada a relação de comutação bosônica mais geral:
r [ai, aj]=[ai^dag>=r, aj^dag>=r]=0 [ai, aj^dag>=r]=de
onde de é a função delta de Kronecker e as relações acima aparecem em sistemas com graus de liberdade adicionais, representados pelos índices i, j :
a) o que representam os operadores a, a^dag>=r e n=a^dag>=r a ?
b) encontre a partir do Hamiltoniano acima, a função de Bose-Einstein considerando:
rho=e^-beta HTr(e^-beta H),
e f(omega)=lang<=nrang<==Tr(rho n).
c) Obtenha as equações de Heisenberg para a e a^dag>=r.

Passo 1

Estamos com um sistema de bósons livres descrito pelo Hamiltoniano H=hbaromega,a^dag>=ra, usando operadores de aniquilação e criação que satisfazem as relações de comutação bosônicas generalizadas. Vamos ver o que cada operador significa, achar a distribuição de Bose–Einstein f(omega)=lang<=hat nrang<= e, por fim, escrever as equações de Heisenberg para a e a^dag>=r.

Passo 2

Os operadores a e a^dag>=r são, respectivamente, o operador de aniquilação e o operador de criação de um quantum de energia hbaromega. O operador hat n=a^dag>=ra é o operador número, isto é, conta quantos bósons existem no modo considerado. Ele tem autovalores inteiros não negativos.

Passo 3

Para obter a função de Bose–Einstein precisamos calcular a média lang<=hat nrang<==Tr(rho,hat n) com a densidade rho=e^-betahat HTr(e^-betahat H). Primeiro a partição:
colocando o autovalor n de hat n temos
Z=Tr(e^-betahbaromega,n)=sumn=0^inftye^-betahbaromega,n=11-e^-betahbaromega

Passo 4

A média é
lang<=hat nrang<==1Zsumn=0^inftyn,e^-betahbaromega,n=-1Zpartialpartial(betahbaromega)sumn=0^inftye^-betahbaromega,n=1e^betahbaromega-1

Passo 5

Na representação de Heisenberg, os operadores evoluem segundo dOdt=ihbar[hat H,O]. Então
dadt=ihbar[hbaromega,a^dag>=ra,a]=iomega,a^dag>=r[a,a]+iomega,[a^dag>=r,a]a=-iomega,a,onde usamos [a,a]=0 e [a,a^dag>=r]=1. De forma análoga
da^dag>=rdt=ihbar[hbaromega,a^dag>=ra,a^dag>=r]=iomega,a^dag>=r

Resposta

a) a é o operador de aniquilação, a^dag>=r o de criação e hat n=a^dag>=ra é o operador número de bósons. b) A distribuição de Bose–Einstein é
f(omega)=lang<=hat nrang<==1e^betahbaromega-1
c) As equações de Heisenberg são
dadt=-iomega,a,da^dag>=rdt=iomega,a^dag>=r

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