Considere um sistema de bósons livres:
Dada a relação de comutação bosônica mais geral:
onde
é a função delta de Kronecker e as relações acima aparecem em sistemas com graus de liberdade adicionais, representados pelos índices
:
a) o que representam os operadores
e
?
b) encontre a partir do Hamiltoniano acima, a função de Bose-Einstein considerando:
e
.
c) Obtenha as equações de Heisenberg para
e
.
a) o que representam os operadores
b) encontre a partir do Hamiltoniano acima, a função de Bose-Einstein considerando:
c) Obtenha as equações de Heisenberg para
Passo 1
Estamos com um sistema de bósons livres descrito pelo Hamiltoniano
, usando operadores de aniquilação e criação que satisfazem as relações de comutação bosônicas generalizadas. Vamos ver o que cada operador significa, achar a distribuição de Bose–Einstein
e, por fim, escrever as equações de Heisenberg para
e
.
Passo 2
Os operadores
e
são, respectivamente, o operador de aniquilação e o operador de criação de um quantum de energia
. O operador
é o operador número, isto é, conta quantos bósons existem no modo considerado. Ele tem autovalores inteiros não negativos.
Passo 3
Para obter a função de Bose–Einstein precisamos calcular a média
com a densidade
. Primeiro a partição:
colocando o autovalor de
temos
colocando o autovalor
Passo 4
A média é
Passo 5
Na representação de Heisenberg, os operadores evoluem segundo
. Então
Resposta
a)
é o operador de aniquilação,
o de criação e
é o operador número de bósons. b) A distribuição de Bose–Einstein é
c) As equações de Heisenberg são