Considere um sistema formado por duas partículas de carga +q e -q(q>0), separadas de uma distância d. A partícula de carga positiva se situa sobre o ponto \left(0, \frac{d}{2}\right) e a partícula de carga negativa se situa sobre o ponto \left(0,-\frac{d}{2}\right).
a) Qual a carga elétrica total desta distribuição? Qual o vetor momento de dipolo elétrico \vec{p} desta distribuição?
b) Sem efetuar nenhuma conta, indique a direção do campo elétrico resultante gerado por essa distribuição de cargas:
i) em um ponto pertencente ao eixo Y. Existe algum ponto desse eixo em que este campo é nulo? Justifique.
ii) em um ponto pertencente ao eixo X ?
c) Considere um ponto P(x, 0), pertencente ao eixo X .
i) Encontre o vetor campo elétrico \vec{E}_{+}(x, 0), gerado pela carga elétrica positiva, no ponto P.
ii) Encontre o vetor campo elétrico \vec{E}_{-}(x, 0), gerado pela carga elétrica negativa, no ponto P.
iii) Usando os resultados anteriores, obtenha o vetor campo elétrico resultante \vec{E}(x, 0) \mathrm{em} \mathrm{P}.
iv) Como se comparam os módulos \left|\vec{E}_{+}(x, 0)\right|,\left|\vec{E}_{-}(x, 0)\right| e |\vec{E}(x, 0)| ?
d) Considere o regime |x| \gg d na sua resposta do item (c.iii). Este resultado contraria a lei de Coulomb? Justifique sua resposta em palavras.
Dado: (1+z)^{\beta} \approx 1+\beta z+\frac{\beta}{2}(\beta-1) z^{2}+\cdots para |z| \ll 1

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder.
Dados fornecidos:
  • Duas cargas pontuais: uma de carga +q e outra de carga -q, com q>0.
  • As posições são \left(0,\tfrac{d}{2}\right) para a carga +q e \left(0,-\tfrac{d}{2}\right) para a carga -q.
  • Distância entre as cargas é d.
Perguntas:
a) (i) Qual a carga elétrica total da distribuição? (ii) Qual o vetor momento de dipolo elétrico \vec{p} da distribuição?
b) Sem contas: i) direção do campo elétrico no eixo y; existe ponto nesse eixo onde o campo é nulo? Justificar. ii) direção do campo elétrico no eixo x.
c) Ponto P(x,0) no eixo x: i) encontrar \vec{E}_+(x,0) (campo gerado por +q); ii) encontrar \vec{E}_-(x,0) (campo gerado por -q); iii) obter o campo resultante \vec{E}(x,0); iv) comparar os módulos \left|\vec{E}_+\right|,\left|\vec{E}_-\right|,|\vec{E}|.
d) No regime |x|\gg d, simplificar o resultado de (c.iii) e responder: isso contraria a lei de Coulomb? Justificar em palavras.
Anotações úteis que vou usar:
  • Constante de Coulomb k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}.
  • Lei de Coulomb para campo de uma carga pontual q em posição \vec r_q: \displaystyle \vec E(\vec r)=k\,q\,\dfrac{\vec r-\vec r_q}{\lvert \vec r-\vec r_q\rvert^{3}}.
  • Definição de momento dipolar para um conjunto de cargas pontuais: \displaystyle \vec p=\sum_i q_i \vec r_i. Aqui \vec r_i é o vetor posição da i-ésima carga (medido a partir da origem escolhida).

Passo 2

a) (i) Carga total.
Explicação rápida: a carga total é soma algébrica das cargas pontuais. Isso é direto e importante na prova: soma-se as cargas com sinal.
Cálculo:
\text{Carga total} = (+q)+(-q)=0.
Então a distribuição é neutra eletricamente.

Passo 3

a) (ii) Momento dipolar \vec p.
Relembrando a definição: \displaystyle \vec p=\sum_i q_i\vec r_i, onde \vec r_i é a posição da carga i em relação à origem. Aqui a origem está implícita no enunciado (coordenadas dadas). Vou calcular contribuição de cada carga:
  • Para a carga +q em \left(0,\tfrac{d}{2}\right): contribuição \;q\cdot\left(0,\tfrac{d}{2}\right)=\left(0,\tfrac{q d}{2}\right).
  • Para a carga -q em \left(0,-\tfrac{d}{2}\right): contribuição \;(-q)\cdot\left(0,-\tfrac{d}{2}\right)=\left(0,+\tfrac{q d}{2}\right).
Somando:
\vec p=\left(0,\tfrac{q d}{2}\right)+\left(0,\tfrac{q d}{2}\right)=\left(0,q d\right).
Em notação vetorial unitária:
\vec p = q d\,\hat y.
Comentário didático: o momento dipolar aponta da carga negativa para a positiva. Aqui a positiva está em +y, logo \vec p aponta para +\hat y.

Passo 4

b) i) Direção do campo elétrico em um ponto do eixo y (sem contas).
Vamos usar pensamento físico e simetria, sem calcular: o campo de cada carga está sempre sobre a linha que une a carga ao ponto. Como ambas as cargas estão sobre o eixo y, um ponto do eixo y recebe os campos das duas cargas colineares (ambos ao longo do eixo y). Assim o campo resultante em qualquer ponto do eixo y é puramente vertical (paralelo a \hat y), isto é, tem direção \pm\hat y.
Agora qual sentido (+ \hat y ou -\hat y) em cada região:
  • Para y>d/2 (acima da carga positiva): a contribuição da carga positiva aponta para fora da carga (para cima, +\hat y), a da carga negativa aponta para a carga negativa (ou seja, para baixo, -\hat y). Como a carga positiva está mais perto desse ponto, sua contribuição é maior — o campo resultante aponta para +\hat y.
  • Para -d/2<y<d/2 (entre as cargas): ambos os campos apontam do positivo para o negativo, isto é, para -\hat y. Logo o campo resultante aponta para -\hat y (direção para baixo).
  • Para y<-d/2 (abaixo da carga negativa): os papéis repetem e o campo resultante aponta para -\hat y (pois a contribuição da carga negativa, mais próxima, domina e aponta para baixo).
Existe algum ponto no eixo y com campo nulo?
Raciocínio simples: fora do segmento entre cargas ( |y|>d/2) as contribuições têm sentidos opostos; para que se anulem seria necessário que as intensidades fossem exatamente iguais, o que aconteceria se (y-d/2)^2=(y+d/2)^2. Isso só é possível matematicamente quando y=0 (contradizindo a condição y>d/2) ou d=0. No interior ( -d/2<y<d/2) as contribuições têm mesmo sentido e somam, então não se cancelam. Conclusão: não existe ponto finito no eixo y onde o campo seja nulo. (Somente a y\to\pm\infty o campo tende a zero.)

Passo 5

b) ii) Direção do campo elétrico em um ponto do eixo x (sem contas).
Raciocínio por simetria: escolha um ponto P(x,0). As duas cargas estão simetricamente localizadas em relação ao eixo x (uma em +d/2, outra em -d/2 sobre o eixo y). Portanto, as componentes verticais (na direção \hat y) dos campos gerados por cada carga não são iguais em sentido; vamos analisar qualitativamente:
  • A componente horizontal ( \hat x) dos campos das duas cargas tem sentidos opostos e, por simetria, tem mesmo módulo; então as componentes horizontais se cancelam.
  • As componentes verticais ( \hat y) não se cancelam: ambas apontam para baixo (direção -\hat y). Para ver isso de forma intuitiva: imagine os dois vetores do campo em P; ambos têm componentes apontando em direção à linha que liga positivo a negativo, que é vertical para esse arranjo; o resultado é uma soma que dá um vetor vertical para baixo.
Conclusão: o campo resultante em qualquer ponto do eixo x tem direção puramente vertical, no sentido -\hat y (para baixo).
Dica de prova: isso é ótimo para prova rápida — com simetria já se sabe direção sem cálculo; depois bate os sinais com contas.

Passo 6

c) Agora vamos calcular explicitamente os campos no ponto P(x,0). Vou desenvolver passo a passo e explicar cada fórmula.
Primeiro, a distância do ponto P(x,0) até cada carga é a mesma:
r=\sqrt{x^{2}+\left(\tfrac{d}{2}\right)^{2}}.
Este r aparece sempre nas expressões.
c.i) Campo gerado pela carga +q em P.
Usando a lei de Coulomb vetorial:
\vec E_{+}(x,0)=k\,q\,\dfrac{\vec r_P-\vec r_{+}}{\lvert \vec r_P-\vec r_{+}\rvert^{3}},
onde \vec r_P=(x,0) e \vec r_{+}=(0,\tfrac{d}{2}). Então o vetor deslocamento é
\vec r_P-\vec r_{+}=(x,\;0-\tfrac{d}{2})=(x,\;-\tfrac{d}{2}).
Portanto, usando \;r^{3}=(x^{2}+(\tfrac{d}{2})^{2})^{3/2},
\boxed{\displaystyle \vec E_{+}(x,0) = k\,q\,\dfrac{x\,\hat x - \tfrac{d}{2}\,\hat y}{\bigl(x^{2}+(\tfrac{d}{2})^{2}\bigr)^{3/2}}.}
Comentário: isso mostra que \vec E_{+} tem componente positiva em \hat x e componente negativa em \hat y (para x>0).

Passo 7

c.ii) Campo gerado pela carga -q em P.
Usando a mesma ideia: \vec r_{-}=(0,-\tfrac{d}{2}). O vetor deslocamento \vec r_P-\vec r_{-}=(x,\;0-(-\tfrac{d}{2}))=(x,\;\tfrac{d}{2}). Aplicando a fórmula de Coulomb (note que a carga é -q):
\vec E_{-}(x,0)=k(-q)\dfrac{(x,\;\tfrac{d}{2})}{\bigl(x^{2}+(\tfrac{d}{2})^{2}\bigr)^{3/2}}.
Ou escrevendo de forma explícita:
\boxed{\displaystyle \vec E_{-}(x,0) = -\,k\,q\,\dfrac{x\,\hat x + \tfrac{d}{2}\,\hat y}{\bigl(x^{2}+(\tfrac{d}{2})^{2}\bigr)^{3/2}}.}
Comentário: note o sinal negativo global (por ser carga negativa) e que a componente em \hat y também é negativa quando somada com a de \vec E_+.

Passo 8

c.iii) Campo resultante \vec E(x,0)=\vec E_{+}+\vec E_{-}.
Somando as expressões das etapas anteriores:
As componentes em \hat x:
E_{+,x}=kq\,\dfrac{x}{r^{3}},\qquad E_{-,x}=-kq\,\dfrac{x}{r^{3}}\quad\Rightarrow\quad E_x=0.
As componentes em \hat y:
E_{+,y}= -kq\,\dfrac{\tfrac{d}{2}}{r^{3}},\qquad E_{-,y}= -kq\,\dfrac{\tfrac{d}{2}}{r^{3}}\quad\Rightarrow\quad E_y = -kq\,\dfrac{d}{r^{3}}.
Portanto, compactando:
\boxed{\displaystyle \vec E(x,0)= -\,\hat y\; \dfrac{k\,q\,d}{\bigl(x^{2}+(\tfrac{d}{2})^{2}\bigr)^{3/2}}.}
Comentário didático: as componentes horizontais cancelam por simetria; as verticais somam (ambas apontando para baixo), resultando em um vetor puramente vertical, negativo em \hat y. Isso confirma o raciocínio sem contas da parte (b.ii).

Passo 9

c.iv) Comparação dos módulos \left|\vec E_{+}\right|,\left|\vec E_{-}\right| e |\vec E|.
Primeiro os módulos individuais (campo de cada carga isolada):
\left|\vec E_{+}\right|=\left|\vec E_{-}\right|= \dfrac{k\,q}{r^{2}} \quad\text{onde}\quad r^{2}=x^{2}+\left(\tfrac{d}{2}\right)^{2}.
Módulo do campo resultante (já obtido):
\lvert \vec E\rvert = \dfrac{k\,q\,d}{\bigl(x^{2}+(\tfrac{d}{2})^{2}\bigr)^{3/2}}.
Relação útil entre eles:
\lvert \vec E\rvert = \left(\dfrac{d}{r}\right)\left|\vec E_{+}\right|.
Observação: como r>\tfrac{d}{2} (exceto no caso degenerado x=0,d=0), tem \dfrac{d}{r}<1. Logo
\boxed{\displaystyle \lvert \vec E\rvert < \left|\vec E_{+}\right|=\left|\vec E_{-}\right|.}
Interpretação prática: cada carga gera um campo sozinho; mas por vetores esses campos não se somam alinhadamente — as componentes horizontais se cancelam — de modo que o campo resultante tem módulo menor que o de cada campo individual.

Passo 10

d) Regime \lvert x\rvert\gg d. Aproximação e interpretação física.
Quando |x|\gg d temos r=\sqrt{x^{2}+(\tfrac{d}{2})^{2}}\approx |x| com pequenas correções. Portanto, usando a expressão de (c.iii):
\vec E(x,0)\approx -\hat y\;\dfrac{k\,q\,d}{|x|^{3}}.
Se quiser usar a expansão em série (multiplicando por potências pequenas), dá para mostrar que os termos seguintes decaem mais rápido (ordem d^{3}/x^{5}, etc.). O termo dominante em grande distância é proporcional a 1/|x|^{3}.
Isso contradiz a lei de Coulomb?
Não: a lei de Coulomb diz que o campo gerado por UMA carga pontual decai como 1/r^{2}. Aqui há DUAS cargas de mesma magnitude e sinais opostos separadas por uma distância d. A distribuição total é neutra (carga total zero), então, a grandes distâncias, o monopólo (soma das cargas) desaparece e o primeiro termo sobrevivente da expansão multipolar é o dipolo, cujo campo decai como 1/r^{3}. Em palavras: não há contradição — cada carga individual obedece à lei de Coulomb, mas o campo resultante da combinação pode ter comportamento de maior decaimento (mais rápido) devido a cancelamentos entre contribuições. Isso é um conceito central em física: arranjos de cargas com soma zero têm campos de longo alcance mais fracos (dipolo 1/r^{3}, quadrupolo 1/r^{4}, etc.).

Resposta

a) Carga total =0. \displaystyle \vec p = q d\,\hat y.
b.i) Em qualquer ponto do eixo y o campo é puramente vertical (paralelo a \hat y). Para y>d/2 aponta para +\hat y; para -d/2<y<d/2 e para y<-d/2 aponta para -\hat y. Não existe ponto finito do eixo y em que o campo seja nulo.
b.ii) Em qualquer ponto do eixo x o campo resultante é puramente vertical e aponta para -\hat y (para baixo).
c.i) \displaystyle \vec E_{+}(x,0)=k\,q\,\dfrac{x\,\hat x - \tfrac{d}{2}\,\hat y}{\bigl(x^{2}+(\tfrac{d}{2})^{2}\bigr)^{3/2}}.
c.ii) \displaystyle \vec E_{-}(x,0)=-\,k\,q\,\dfrac{x\,\hat x + \tfrac{d}{2}\,\hat y}{\bigl(x^{2}+(\tfrac{d}{2})^{2}\bigr)^{3/2}}.
c.iii) \displaystyle \vec E(x,0)= -\,\hat y\; \dfrac{k\,q\,d}{\bigl(x^{2}+(\tfrac{d}{2})^{2}\bigr)^{3/2}}.
c.iv) \displaystyle \left|\vec E_{+}\right|=\left|\vec E_{-}\right|=\dfrac{k\,q}{x^{2}+(\tfrac{d}{2})^{2}},\quad \lvert\vec E\rvert=\dfrac{k\,q\,d}{\bigl(x^{2}+(\tfrac{d}{2})^{2}\bigr)^{3/2}}, e \lvert\vec E\rvert<\left|\vec E_{+}\right|=\left|\vec E_{-}\right|.
d) Para |x|\gg d: \displaystyle \vec E(x,0)\approx -\hat y\,\dfrac{k\,q\,d}{|x|^{3}}. Isso não contradiz a lei de Coulomb: cada carga obedece a 1/r^{2}, mas a soma de duas cargas opostas com carga total zero tem comportamento dipolar dominante, que decai como 1/r^{3} a grandes distâncias.

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