Uma partícula de carga
está no eixo y a uma distância
da origem e uma partícula de carga
está no eixo
a uma distância
da origem. O valor de
para o qual a componente
da força a que a segunda partícula é submetida é máxima é
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c. 0
◯ d. a
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ c. 0
◯ d. a
◯ e.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Informações dadas:
- Uma partícula de carga
está no eixo à distância da origem. Ou seja, sua posição é . - Outra partícula de carga
está no eixo à distância da origem. Ou seja, sua posição é .
- Uma partícula de carga
- O que o enunciado pede:
- Determinar o valor de
para o qual a componente da força sobre a segunda partícula (a de carga ) é máxima.
- Determinar o valor de
- Observações úteis (já extraídas do enunciado):
- A interação entre as cargas é eletrostática (lei de Coulomb).
-
é uma constante positiva (distância fixa no eixo ); a variável é (distância no eixo ) que deve ser escolhida para maximizar a componente da força.
Passo 2
Relembrando a lei de Coulomb (aulas rápidas): a força eletrostática entre duas cargas puntiformes
e
, separadas por uma distância
, tem módulo
onde
é a constante eletrostática. A direção da força é a linha que une as cargas; o sinal (atração ou repulsão) depende dos sinais de
e
, mas para maximizar a componente
interessa o módulo da componente
(ou seja, o fator geométrico). Aqui:
-
é a distância entre e . - A componente
da força é o módulo da força multiplicado pelo cosseno do ângulo entre a linha de ação e o eixo .
Passo 3
Calcular a distância
entre as cargas e o cosseno do ângulo:
- Distância
- O cosseno do ângulo
entre a linha que liga as cargas e o eixo é a razão do cateto adjacente ( ) pela hipotenusa ( ):
Passo 4
Expressar a componente
da força (módulo) em função de
e
. O módulo da força é
; multiplicando por
obtemos
Substituindo
,
Observação importante:
e o sinal não dependem de
; para determinar onde
(em módulo) atinge máximo, basta maximizar a função sem o fator constante:
Além disso, fisicamente
(distância ao longo do eixo
para o ponto considerado).
Passo 5
Vamos maximizar
usando cálculo (derivada). Escrevendo
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia para obter
.
Passo 6
Calcular
passo a passo:
- Derivada do primeiro fator
é . - Derivada do segundo fator
é .
Usando produto,
Colocando em evidência
:
Simplificando o colchete:
Passo 7
Encontrar pontos críticos: resolvendo
. O fator
nunca é zero (é positivo para todo
), logo a condição é
Daí
tomando a raiz positiva (pois
).
Passo 8
Verificar que esse ponto é máximo (não mínimo ou ponto de inflexão). Observando o sinal de
:
- Se
, então e : cresce. - Se
, então e : decresce.
Portanto há mudança de crescente para decrescente em
, mostrando que esse ponto é um máximo. (Alternativamente poderia-se checar
nesse ponto.)
Passo 9
Conclusão: a componente
da força sobre a partícula no eixo
é máxima quando
Resposta
b.