Uma partícula de carga Q está no eixo y a uma distância a da origem e uma partícula de carga q está no eixo x a uma distância d da origem. O valor de d para o qual a componente x da força a que a segunda partícula é submetida é máxima é
Escolha uma opção:
◯ a. a / 2
◯ b. \quad a / \sqrt{2}
◯ c. 0
◯ d. a
◯ e. a \sqrt{2}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Informações dadas:
    • Uma partícula de carga Q está no eixo y à distância a da origem. Ou seja, sua posição é (0,a).
    • Outra partícula de carga q está no eixo x à distância d da origem. Ou seja, sua posição é (d,0).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o valor de d para o qual a componente x da força sobre a segunda partícula (a de carga q) é máxima.
  • Observações úteis (já extraídas do enunciado):
    • A interação entre as cargas é eletrostática (lei de Coulomb).
    • a é uma constante positiva (distância fixa no eixo y); a variável é d (distância no eixo x) que deve ser escolhida para maximizar a componente x da força.

Passo 2

Relembrando a lei de Coulomb (aulas rápidas): a força eletrostática entre duas cargas puntiformes Q e q, separadas por uma distância r, tem módulo
F=\dfrac{k\,|Qq|}{r^{2}},
onde k é a constante eletrostática. A direção da força é a linha que une as cargas; o sinal (atração ou repulsão) depende dos sinais de Q e q, mas para maximizar a componente x interessa o módulo da componente x (ou seja, o fator geométrico). Aqui:
  • r é a distância entre (0,a) e (d,0).
  • A componente x da força é o módulo da força multiplicado pelo cosseno do ângulo entre a linha de ação e o eixo x.

Passo 3

Calcular a distância r entre as cargas e o cosseno do ângulo:
  • Distância
r=\sqrt{d^{2}+a^{2}}.
  • O cosseno do ângulo \theta entre a linha que liga as cargas e o eixo x é a razão do cateto adjacente ( d) pela hipotenusa ( r):
\cos\theta=\dfrac{d}{r}.

Passo 4

Expressar a componente x da força (módulo) em função de d e a. O módulo da força é \dfrac{k\,|Qq|}{r^{2}}; multiplicando por \cos\theta=\dfrac{d}{r} obtemos
F_{x}=\dfrac{k\,|Qq|}{r^{2}}\cdot\dfrac{d}{r}=\dfrac{k\,|Qq|\,d}{r^{3}}.
Substituindo r=\sqrt{d^{2}+a^{2}},
F_{x}=\dfrac{k\,|Qq|\,d}{\bigl(d^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}}.
Observação importante: k\,|Qq| e o sinal não dependem de d; para determinar onde F_{x} (em módulo) atinge máximo, basta maximizar a função sem o fator constante:
f(d)=\dfrac{d}{\bigl(d^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}}.
Além disso, fisicamente d\ge 0 (distância ao longo do eixo x para o ponto considerado).

Passo 5

Vamos maximizar f(d) usando cálculo (derivada). Escrevendo
f(d)=d\,(d^{2}+a^{2})^{-3/2}.
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia para obter f'(d).

Passo 6

Calcular f'(d) passo a passo:
  • Derivada do primeiro fator d é 1.
  • Derivada do segundo fator (d^{2}+a^{2})^{-3/2} é -\tfrac{3}{2}(d^{2}+a^{2})^{-5/2}\cdot 2d = -3d\,(d^{2}+a^{2})^{-5/2}.
Usando produto,
f'(d)=(d^{2}+a^{2})^{-3/2} + d\bigl(-3d\,(d^{2}+a^{2})^{-5/2}\bigr).
Colocando em evidência (d^{2}+a^{2})^{-5/2}:
f'(d)=(d^{2}+a^{2})^{-5/2}\Bigl[(d^{2}+a^{2}) - 3d^{2}\Bigr].
Simplificando o colchete:
f'(d)=(d^{2}+a^{2})^{-5/2}\bigl(a^{2}-2d^{2}\bigr).

Passo 7

Encontrar pontos críticos: resolvendo f'(d)=0. O fator (d^{2}+a^{2})^{-5/2} nunca é zero (é positivo para todo d), logo a condição é
a^{2}-2d^{2}=0.
Daí
2d^{2}=a^{2}\quad\Rightarrow\quad d^{2}=\dfrac{a^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad d=\dfrac{a}{\sqrt{2}},
tomando a raiz positiva (pois d\ge 0).

Passo 8

Verificar que esse ponto é máximo (não mínimo ou ponto de inflexão). Observando o sinal de f'(d):
  • Se 0\le d<\dfrac{a}{\sqrt{2}}, então a^{2}-2d^{2}>0 e f'(d)>0: f cresce.
  • Se d>\dfrac{a}{\sqrt{2}}, então a^{2}-2d^{2}<0 e f'(d)<0: f decresce.
Portanto há mudança de crescente para decrescente em d=\dfrac{a}{\sqrt{2}}, mostrando que esse ponto é um máximo. (Alternativamente poderia-se checar f''(d)<0 nesse ponto.)

Passo 9

Conclusão: a componente x da força sobre a partícula no eixo x é máxima quando
d=\dfrac{a}{\sqrt{2}}.

Resposta

b. \dfrac{a}{\sqrt{2}}

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