Demonstre a seguinte relação entre a dependência angular da intensidade de espalhamento de raios
, e a função de correlação atómica,
,
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a relação
Informações relevantes que vamos usar (essas são convenções e quantidades que aparecem naturalmente ao tratar espalhamento de partículas):
- Há
partículas em um volume ; a densidade média numérica é . - As partículas têm posições
. -
é o fator de estrutura (intensidade de espalhamento dependente de ); vem de correlações de densidade no espaço. -
é a função de correlação (par) entre átomos; para um sistema homogêneo e isotrópico depende apenas de e tende a para .
Não vamos ainda resolver nada; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Definir a densidade de partículas em espaço e sua transformada de Fourier.
- A densidade instantânea (operador densidade) pode ser escrita como
onde
é a delta de Dirac. Essa função soma deltas centradas nas posições das partículas — é a forma matemática de “onde estão as partículas”.
- A transformada de Fourier da densidade (com a convenção que escolhemos) é
Explanação didática:
é uma soma de fase exponencial para cada partícula; é a amplitude de Fourier da densidade — a coisa que aparece na intensidade de espalhamento.
- O fator de estrutura (normalizado por partícula) é então definido por
onde
indica média de ensemble (média estatística sobre as configurações do sistema). Essa definição corresponde à intensidade média proporcional a
por partícula.
Passo 3
Expandir o produto e separar termos diagonais (mesma partícula) dos não-diagonais (pares distintos).
- Usando a definição de
,
- Tomando a média e dividindo por
,
- O primeiro termo é simples:
. Assim
Comentário didático: o termo
vem dos auto-termos (j=k) que representam espalhamento incoerente da mesma partícula; os demais termos codificam correlações entre partículas diferentes.
Passo 4
Substituir a soma sobre pares por uma integral usando a densidade de pares
e a definição de
.
- Em estatística de muitos corpos, a média de uma soma sobre pares pode ser escrita como uma integral com a função de densidade de pares
:
Aqui
.
- Para um sistema homogêneo (translação-invariante) a densidade de pares depende apenas da separação
e é dada por
Explicação do que isto significa:
é aproximadamente o número esperado de pares com uma partícula em
e outra em
; a função
descreve como a presença de uma partícula em um ponto altera a probabilidade de encontrar outra a uma separação
.
- Substituindo na integral:
Passo 5
Mudar variáveis para a separação relativa e integrar sobre a posição do centro, obtendo o fator
.
- Faça a mudança de variáveis
(separação relativa) e (ou qualquer variável de centro). Jacobiano é 1, portanto . - A integral acima torna-se
- A integral sobre
simplesmente dá o volume . Então
- Voltando para
com o fator , e usando , obtemos
Passo 6
Juntar os termos e comentar sutilezas.
- Substituindo o resultado do passo anterior em
, obtemos exatamente
- Observação prática (importante na prova): muitas vezes escreve-se a fórmula em termos de
para evitar a contribuição singular em que vem da transformada de . Nesse caso a relação equivalente é
e a transformada da constante
produz um termo proporcional a
. Isso é um detalhe técnico sobre a componente de onda zero; para
as duas formas são equivalentes quando se trata de medidas experimentais de espalhamento fora da direção direta.
- Exemplo rápido para fixar: para um gás ideal sem correlações
. Substituindo na fórmula dá
ou seja, exceto em
tem
, como esperado para partículas não correlacionadas.