Considere um sistema formado por três cargas pontuais. A carga de 5,00 \mathrm{nC} se encontra na origem de um sistema de coordenadas, a de 6,00 \mathrm{nC} está em \vec{r}_{A}=(0,300 \mathrm{~m}) \hat{\imath} e a de -3,00 \mathrm{nC} em \vec{r}_{B}=(-0,100 \mathrm{~m}) \hat{\jmath}.
(a) Encontre a força vetorial na carga que está na origem.
(b) Encontre o vetor campo elétrico na origem, devido às cargas de 6,00 \mathrm{nCe}-3,00 \mathrm{nC}.

Passo 1

O enunciado descreve três cargas pontuais:
q_{1}=5{,}00\,\mathrm{nC} está na origem.
q_{2}=6{,}00\,\mathrm{nC} está em \vec r_{2}=(0{,}300\,\mathrm{m})\,\hat\imath.
q_{3}=-3{,}00\,\mathrm{nC} está em \vec r_{3}=(-0{,}100\,\mathrm{m})\,\hat\jmath.
Queremos (a) a força resultante sobre q_{1} e (b) o campo elétrico em O devido a q_{2} e q_{3}.
O conteúdo necessário é a lei de Coulomb para força e a definição de campo elétrico de uma carga pontual.

Passo 2

Calcular a força \vec F_{12} em q_{1} devida a q_{2}.
A lei de Coulomb dá
\vec F_{12} = k\,\frac{q_{1}q_{2}}{r_{12}^{2}}\,\hat r_{12},
onde k=8{,}99\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}, \vec r_{12}=\vec r_{1}-\vec r_{2}=-0{,}300\,\hat\imath e r_{12}=0{,}300\,\mathrm{m}.
Como q_{1} e q_{2} são ambos positivos, a força é repulsiva, apontando em -\hat\imath.
Substituindo,
F_{12} =8{,}99\times10^{9}\,\frac{(5{,}00\times10^{-9})(6{,}00\times10^{-9})}{(0{,}300)^{2}} \approx2{,}997\times10^{-6}\,\mathrm{N},
logo
\vec F_{12}=-2{,}997\times10^{-6}\,\hat\imath\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Calcular a força \vec F_{13} em q_{1} devida a q_{3}.
Temos \vec r_{13}=\vec r_{1}-\vec r_{3}=0{,}100\,\hat\jmath e r_{13}=0{,}100\,\mathrm{m}.
Como q_{3} é negativa, a força é de atração, apontando para \vec r_{3}, i.e.\ em -\hat\jmath.
F_{13} =8{,}99\times10^{9}\,\frac{(5{,}00\times10^{-9})(3{,}00\times10^{-9})}{(0{,}100)^{2}} \approx1{,}349\times10^{-5}\,\mathrm{N},
então
\vec F_{13}=-1{,}349\times10^{-5}\,\hat\jmath\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Somar vetor-ialmente as duas contribuições para obter a força total em q_{1}:
\vec F_{\text{total}} =\vec F_{12}+\vec F_{13} =-2{,}997\times10^{-6}\,\hat\imath\;-\;1{,}349\times10^{-5}\,\hat\jmath \\ \mathrm{N}.

Passo 5

Calcular o campo criado por q_{2} no ponto O:
\vec E_{2} = k\,\frac{q_{2}}{r_{2O}^{2}}\,\hat r_{2O}
com r_{2O}=0{,}300\,\mathrm{m} e \hat r_{2O} de q_{2} para O, i.e.\ em -\hat\imath.
E_{2} =8{,}99\times10^{9}\,\frac{6{,}00\times10^{-9}}{(0{,}300)^{2}} \approx599{,}3\;\mathrm{N/C}, \vec E_{2}=-599{,}3\,\hat\imath\\ \mathrm{N/C}.

Passo 6

Calcular o campo criado por q_{3} em O:
\vec E_{3} = k\,\frac{q_{3}}{r_{3O}^{2}}\,\hat r_{3O}
com r_{3O}=0{,}100\,\mathrm{m} e direção de O para q_{3}, i.e.\ em -\hat\jmath.
E_{3} =8{,}99\times10^{9}\,\frac{(-3{,}00\times10^{-9})}{(0{,}100)^{2}} \approx-2{,}697\times10^{3}\;\mathrm{N/C},
então \vec E_{3}=-2{,}697\times10^{3}\,\hat\jmath\\ \mathrm{N/C}.

Passo 7

Somar os campos para obter o campo total em O:
\vec E_{\text{total}} =\vec E_{2}+\vec E_{3} =-599{,}3\,\hat\imath\;-\;2{,}697\times10^{3}\,\hat\jmath \\ \mathrm{N/C}.

Resposta

(a) \displaystyle \vec F =-2{,}997\times10^{-6}\,\hat\imath\;-1{,}349\times10^{-5}\,\hat\jmath\\ \mathrm{N}.
(b) \displaystyle \vec E =-599{,}3\,\hat\imath\;-2{,}697\times10^{3}\,\hat\jmath\\ \mathrm{N/C}.

Exercícios relacionados