Considere o sistema com função de transferência
Valor 2,5
:
a) Represente os polos e zeros do sistema
no plano
e comente sobre sua estabilidade.
b) Determine a transformada inversa de Laplace da saída
para a entrada
.
c) Encontre a resposta
quando
para uma entrada
do tipo degrau unitário.
a) Represente os polos e zeros do sistema
b) Determine a transformada inversa de Laplace da saída
c) Encontre a resposta
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede três coisas:
- Representar os polos e zeros de
no plano e comentar sobre a estabilidade do sistema. - Determinar a transformada inversa de Laplace da saída
quando a entrada é o degrau unitário . - Encontrar o valor de
quando para a mesma entrada degrau unitário.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de
acima. Não há outras condições iniciais explícitas, assumimos sistema causal e condições iniciais nulas.
Passo 2
Encontremos os zeros e polos explicitamente a partir de
.
Zero(s): resolvemos o numerador
, o que dá
Polos: fatoramos o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
: são
e
. Assim
Logo os polos são as raízes dessas expressões:
Passo 3
Como representar no plano
e comentar estabilidade (explicando bem o porquê).
Representação (descrição): temos um zero em
(no semiplano direito) e polos em
e
(no semiplano esquerdo). No eixo real isso fica: zero em
à direita, polos em
e
à esquerda.
Comentário sobre estabilidade (explicação didática): para estabilidade de BIBO de um sistema linear invariante no tempo com função de transferência racional, a condição é que todos os polos tenham parte real negativa (isto é, estejam no semiplano esquerdo). Aqui ambos os polos têm parte real negativa (
e
), portanto o sistema é estável (BIBO estável). Observação adicional: o zero em
está no semiplano direito, o que caracteriza o sistema como não-minimum-phase (ou seja, comportamento de fase/overshoot particular), mas isso não impede a estabilidade — apenas complica a resposta transitória.
Passo 4
Preparação para achar
quando
.
A transformada de Laplace do degrau unitário é
. Assim
Para inverter para o tempo vamos decompor
em frações parciais da forma
onde
são constantes a determinar.
Passo 5
Cálculo das constantes por método “cover-up” (substituição direta em pontos que anulam os denominadores) — explico porque funciona: ao multiplicar ambos os lados pela expressão
obtemos uma identidade em
. Avaliar essa identidade em valores que zere um dos fatores isola a constante correspondente.
Multiplicando:
Agora escolhemos valores convenientes:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto as frações parciais são
Passo 6
Transformada inversa de Laplace (regras e aplicação).
Regra fundamental que usamos:
Aplicando termo a termo em
obtemos, para
,
Ou seja,
Eu recomendo decorar a correspondência simples
e
; com isso a maioria das inversões fica direta após a decomposição em frações parciais.
Passo 7
Checagens úteis (inicial e final) — isso ajuda a confiar na resposta.
Inicial: calcule
substituindo
na expressão:
Isso faz sentido: para um sistema causal com entrada degrau e sem condições iniciais, a saída pode iniciar em zero dependendo do zero/polos — aqui dá zero.
Final: pelo Teorema do Valor Final (explico): se
tem pó(s) com parte real negativa exceto possivelmente em zero, então
Como
, temos
e assim
Também vemos isso diretamente na expressão de
: os termos exponenciais tendem a zero e sobra
.
Resposta
(a) Zero em
. Polos em
e
. O sistema é estável (polos no semiplano esquerdo); porém tem um zero no semiplano direito (não-minimum-phase).
(b)
(c)
(b)
(c)