Considere a planta
e o controlador
, onde
é constante. Encontre a faixa de valores de
no qual o sistema em malha fechada é BIBO estável. (Valor 2,5).
Passo 1
O enunciado dá a planta
e o controlador
, com real
. O laço é unitário (realimentação unity). A pergunta é: “Para quais valores de
o sistema em malha fechada é BIBO estável?”\n
Informações relevantes do enunciado:\n
Informações relevantes do enunciado:\n
-
.\n -
com constante.\n - Realimentação unitária.\n
- Queremos a faixa de
que garante BIBO estabilidade (ou seja, todos os polos do sistema em malha fechada com parte real negativa).
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico do sistema em malha fechada. Para laço unitário o polinômio característico é
Multiplicando pelo denominador comum obtemos o polinômio do numerador que deve ser zero. Calculamos
e somamos os termos provenientes de
. Primeiro desenvolvemos
:\n
Multiplicando por
e somando o termo do controlador:
Logo o polinômio característico é
Passo 3
Explico o critério que vamos usar (Routh–Hurwitz) de forma bem didática:\n
- Um sistema linear e invariante no tempo é BIBO estável se, e somente se, todos os pólos do sistema (raízes do polinômio característico) tiverem parte real negativa.\n
- O critério de Routh nos dá condições necessárias e suficientes para que todas as raízes tenham parte real negativa sem precisar calculá‑las explicitamente: montamos a tabela de Routh para
e exigimos que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos. Se algum elemento da primeira coluna for não-positivo (zero ou negativo), há pelo menos um pólo com parte real não-negativa (instabilidade ou marginalidade).
Passo 4
Montamos a tabela de Routh para o polinômio
Colocamos as linhas iniciais:
Agora calculamos a entrada da linha
(primeiro elemento) usando a fórmula
Fazendo as contas passo a passo:
O segundo elemento da linha
é
Assim a linha
é
Passo 5
Continuamos a tabela: calculamos a linha
. O primeiro (e único não nulo) elemento da linha
é
Fazendo as contas com cuidado:
Dividindo por
equivale a multiplicar por
, então
A linha
fica
A linha
é simplesmente o termo constante
Passo 6
Agora escrevemos as condições de estabilidade: todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos. Esses elementos são, em ordem:
As três primeiras já são positivas (1, 9 e
). Restam as condições sobre
:
e
Resolvendo a última desigualdade:
Portanto, combinando com
, obtemos a faixa
Passo 7
Interpretações e casos-limite (importante para prova):\n
- Se
então tem termo constante zero e, de fato, é uma raiz (pólo na origem), o que implica marginalidade — não é BIBO estável. Logo não é aceitável.\n - Se
então o elemento vira zero na tabela de Routh; isso corresponde a uma condição de fronteira (aparecimento de pólos no eixo imaginário ou multiplicidade) e, portanto, também não garante BIBO estabilidade estrita. Assim a desigualdade é estrita superiormente.\n - Para qualquer
dentro do intervalo aberto todos os elementos da primeira coluna são positivos e o sistema é BIBO estável.