Considere a planta G(s)=\frac{1}{(s+2)(s+3)(s+4)} e o controlador G_{c}(s)=\frac{10 s+K_{I}}{s}, onde K_{I} é constante. Encontre a faixa de valores de K_{I} no qual o sistema em malha fechada é BIBO estável. (Valor 2,5).

Passo 1

O enunciado dá a planta G(s)=\dfrac{1}{(s+2)(s+3)(s+4)} e o controlador G_{c}(s)=\dfrac{10s+K_{I}}{s}, com real K_{I}. O laço é unitário (realimentação unity). A pergunta é: “Para quais valores de K_{I} o sistema em malha fechada é BIBO estável?”\n
Informações relevantes do enunciado:\n
  • G(s)=\dfrac{1}{(s+2)(s+3)(s+4)}.\n
  • G_{c}(s)=\dfrac{10s+K_{I}}{s} com K_{I} constante.\n
  • Realimentação unitária.\n
  • Queremos a faixa de K_{I} que garante BIBO estabilidade (ou seja, todos os polos do sistema em malha fechada com parte real negativa).

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico do sistema em malha fechada. Para laço unitário o polinômio característico é
1 + G_{c}(s)G(s)=0.
Multiplicando pelo denominador comum obtemos o polinômio do numerador que deve ser zero. Calculamos s\,(s+2)(s+3)(s+4) e somamos os termos provenientes de 10s+K_{I}. Primeiro desenvolvemos (s+2)(s+3)(s+4):\n
(s+2)(s+3) = s^2+5s+6,
(s^2+5s+6)(s+4) = s^3+9s^2+26s+24.
Multiplicando por s e somando o termo do controlador:
s(s^3+9s^2+26s+24) + (10s+K_{I}) = s^4+9s^3+26s^2+24s +10s + K_{I}.
Logo o polinômio característico é
\boxed{P(s)=s^4+9s^3+26s^2+34s+K_{I}}.

Passo 3

Explico o critério que vamos usar (Routh–Hurwitz) de forma bem didática:\n
  • Um sistema linear e invariante no tempo é BIBO estável se, e somente se, todos os pólos do sistema (raízes do polinômio característico) tiverem parte real negativa.\n
  • O critério de Routh nos dá condições necessárias e suficientes para que todas as raízes tenham parte real negativa sem precisar calculá‑las explicitamente: montamos a tabela de Routh para P(s) e exigimos que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos. Se algum elemento da primeira coluna for não-positivo (zero ou negativo), há pelo menos um pólo com parte real não-negativa (instabilidade ou marginalidade).

Passo 4

Montamos a tabela de Routh para o polinômio
P(s)=s^4+9s^3+26s^2+34s+K_{I}.
Colocamos as linhas iniciais:
\text{linha }s^4:\quad 1\quad 26\quad K_{I}
\text{linha }s^3:\quad 9\quad 34\quad 0
Agora calculamos a entrada da linha s^2 (primeiro elemento) usando a fórmula
b_1=\frac{9\cdot26-1\cdot34}{9}.
Fazendo as contas passo a passo:
9\cdot26=234,\quad 234-34=200,\quad b_1=\frac{200}{9}.
O segundo elemento da linha s^2 é
b_2=\frac{9\cdot K_{I}-1\cdot0}{9}=K_{I}.
Assim a linha s^2 é
\text{linha }s^2:\quad \frac{200}{9}\quad K_{I}\quad 0.

Passo 5

Continuamos a tabela: calculamos a linha s^1. O primeiro (e único não nulo) elemento da linha s^1 é
c_1=\frac{\frac{200}{9}\cdot34-9\cdot K_{I}}{\frac{200}{9}}.
Fazendo as contas com cuidado:
\frac{200}{9}\cdot34=\frac{6800}{9},
\text{numerador}= \frac{6800}{9} - 9K_{I}.
Dividindo por \frac{200}{9} equivale a multiplicar por \frac{9}{200}, então
c_1=\frac{6800-81K_{I}}{200}.
A linha s^1 fica
\text{linha }s^1:\quad \frac{6800-81K_{I}}{200}\quad 0.
A linha s^0 é simplesmente o termo constante
\text{linha }s^0:\quad K_{I}.

Passo 6

Agora escrevemos as condições de estabilidade: todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos. Esses elementos são, em ordem:
1,\quad 9,\quad \frac{200}{9},\quad \frac{6800-81K_{I}}{200},\quad K_{I}.
As três primeiras já são positivas (1, 9 e 200/9). Restam as condições sobre K_{I}:
K_{I}>0
e
\frac{6800-81K_{I}}{200}>0 \quad\Longrightarrow\quad 6800-81K_{I}>0.
Resolvendo a última desigualdade:
81K_{I}<6800 \quad\Longrightarrow\quad K_{I}<\frac{6800}{81}.
Portanto, combinando com K_{I}>0, obtemos a faixa
0<K_{I}<\frac{6800}{81}.

Passo 7

Interpretações e casos-limite (importante para prova):\n
  • Se K_{I}=0 então P(s) tem termo constante zero e, de fato, s=0 é uma raiz (pólo na origem), o que implica marginalidade — não é BIBO estável. Logo K_{I}=0 não é aceitável.\n
  • Se K_{I}=\dfrac{6800}{81} então o elemento \dfrac{6800-81K_{I}}{200} vira zero na tabela de Routh; isso corresponde a uma condição de fronteira (aparecimento de pólos no eixo imaginário ou multiplicidade) e, portanto, também não garante BIBO estabilidade estrita. Assim a desigualdade é estrita superiormente.\n
  • Para qualquer K_{I} dentro do intervalo aberto \left(0,\dfrac{6800}{81}\right) todos os elementos da primeira coluna são positivos e o sistema é BIBO estável.

Resposta

K_{I}\in\left(0,\dfrac{6800}{81}\right)\approx\left(0,\,83,9506\right)

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