Considerando a mesma dinâmica de período curto do A310 do ponto 8, calcule de forma analítica a matriz de ganhos K utilizando Regulador Linear Quadrático com realimentação de estados. Para as matrizes Q e R aplique a regra de Bryson considerando máximo módulo de ângulo de ataque de 5^{\circ}, máximo módulo de taxa de arfagem de 10^{\circ} / \mathrm{s} e máximo módulo da deflexão do profundor de 15^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule, de forma analítica, a matriz de ganhos K usando o Regulador Linear Quadrático (LQR) com realimentação de estados para a dinâmica de período curto do A310 mencionada no ponto 8. Ele também instrui a escolher as matrizes Q e R pela regra de Bryson usando os limites máximos:
\text{máximo de }|\text{ângulo de ataque } \alpha| = 5^\circ,áâ
\text{máximo de }|\text{taxa de arfagem } q| = 10^\circ/\mathrm{s},á
\text{máximo de }|\text{deflexão do profundor } \delta_e| = 15^\circ.áã
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{pedir: matriz }K\text{ via LQR (feedback de estados)}
\text{usar regra de Bryson para }Q\text{ e }R\text{ com os três máximos dados}êá
Informação necessária que NÃO foi fornecida no enunciado recebido aqui (e que é obrigatória para calcular numericamen-te K):
\text{as matrizes do sistema }A\text{ e }B\text{ da dinâmica de período curto}âí
Sem as matrizes \;A\; e \;B\; do ponto 8 não é possível obter numericamente a matriz de ganho K. A seguir eu mostro exatamente o que faria, passo a passo, e dou as matrizes Q e R segundo Bryson (estas podem ser calculadas sem A,B), e explico como calcular K analiticamente assim que A e B forem fornecidas.

Passo 2

O que é o problema LQR e qual é a solução padrão (fórmula) que vamos usar.
Definição do problema ótimo (tempo infinito, contínuo): dado o sistema linear contínuo
\dot{x}(t)=A\,x(t)+B\,u(t),
o objetivo é escolher o controle em realimentação de estados
u(t) = -K\,x(t)
que minimiza o custo quadrático
J=\int_{0}^{\infty}\bigl(x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t)\bigr)\,dt,
onde Q é uma matriz simétrica semidefinida positiva e R é simétrica definida positiva.
A solução padrão em teoria de controle dá:
  1. encontrar a solução simétrica positiva definida P da Equação Algébrica de Riccati (CARE)
A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q = 0;
  1. então a lei ótima de realimentação é
K = R^{-1} B^T P.
Explicação didática das quantidades:
  • x(t) é o vetor de estados (no curto-prazo de voo normalmente x=[\alpha,\; q]^T, isto é ângulo de ataque e taxa de arfagem).
  • u(t) é a entrada de controle (normalmente \delta_e, deflexão do profundor).
  • A e B são as matrizes que descrevem a dinâmica linearizada do avião em torno do ponto de equilíbrio (estas precisamos para calcular P e K).
  • Q penaliza estados grandes; R penaliza comandos grandes.

Passo 3

Regra de Bryson — como escolher Q e R a partir dos máximos admissíveis, e converter graus para radianos.
A regra de Bryson define matrizes diagonais com elementos inversamente proporcionais ao quadrado dos limites admissíveis:
Q=\operatorname{diag}\Bigl(\frac{1}{x_{1,\max}^2},\frac{1}{x_{2,\max}^2},\dots\Bigr),\qquad R=\operatorname{diag}\Bigl(\frac{1}{u_{1,\max}^2},\dots\Bigr).
No caso típico do curto-prazo com dois estados \alpha e q e um controle \delta_e, tomamos:
Q=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\alpha_{\max}^2} & 0 \\[6pt] 0 & \dfrac{1}{q_{\max}^2} \end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\delta_{e,\max}^2}\end{pmatrix}.
Antes de calcular, convertemos os máximos dados em radianos (porque as equações dinâmicas usam radianos):
\alpha_{\max}=5^\circ = 5\cdot\frac{\pi}{180} \,\mathrm{rad} = 0{,}0872664626\\ \mathrm{rad},
q_{\max}=10^\circ/\mathrm{s} = 10\cdot\frac{\pi}{180}\,\mathrm{rad/s} = 0{,}1745329252\\ \mathrm{rad/s},
\delta_{e,\max}=15^\circ = 15\cdot\frac{\pi}{180}\,\mathrm{rad} = 0{,}2617993878\\ \mathrm{rad}.
Agora aplicamos Bryson:
\frac{1}{\alpha_{\max}^2}=\frac{1}{(0{,}0872664626)^2}\approx 131{,}32,
\frac{1}{q_{\max}^2}=\frac{1}{(0{,}1745329252)^2}\approx 32{,}8287,
\frac{1}{\delta_{e,\max}^2}=\frac{1}{(0{,}2617993878)^2}\approx 14{,}591.
Portanto, segundo Bryson:
Q \approx \begin{pmatrix}131{,}32 & 0\\[4pt] 0 & 32{,}8287\end{pmatrix},\qquad R \approx \begin{pmatrix}14{,}591\end{pmatrix}.
Comentário prático: esses valores dizem ao LQR que é relativamente mais “caro” violar o limite de \alpha do que de q, e que o comando \delta_e também tem custo significativo.]

Passo 4

Como montar a equação de Riccati explicitamente para o caso 2 estados / 1 entrada (expressão analítica das equações escalares).
Se
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}b_1\\[4pt] b_2\end{pmatrix},
assumimos P simétrica 2×2:
P=\begin{pmatrix}p_{11} & p_{12}\\[4pt] p_{12} & p_{22}\end{pmatrix}.
A CARE
A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q = 0
é equivalente a um sistema de três equações escalares (uma para cada entrada independente da matriz simétrica resultante). Escrevendo-as explicitamente (cada linha abaixo é uma igualdade matricial escalar para um elemento simétrico):
Elemento (1,1):
2a_{11}p_{11} + 2a_{21}p_{12} - (p_{11}b_1 + p_{12}b_2)R^{-1}(b_1 p_{11} + b_2 p_{12}) + q_{11} = 0.
Elemento (1,2) (ou (2,1)):
a_{12}p_{11} + a_{11}p_{12} + a_{21}p_{22} + a_{22}p_{12} - (p_{11}b_1 + p_{12}b_2)R^{-1}(b_1 p_{12} + b_2 p_{22}) + q_{12} = 0.
(Para Bryson q_{12}=0.)
Elemento (2,2):
2a_{22}p_{22} + 2a_{12}p_{12} - (p_{12}b_1 + p_{22}b_2)R^{-1}(b_1 p_{12} + b_2 p_{22}) + q_{22} = 0.
Essas são três equações não-lineares em (p_{11},p_{12},p_{22}). Uma vez resolvidas para P, o ganho é
K=R^{-1}B^T P.
Escrevendo as componentes:
K=\begin{pmatrix}k_1 & k_2\end{pmatrix},\qquad k_1 = R^{-1}\bigl(b_1 p_{11} + b_2 p_{12}\bigr),\qquad k_2 = R^{-1}\bigl(b_1 p_{12} + b_2 p_{22}\bigr).
Observação didática: resolver essas três equações analiticamente em termos de a_{ij},b_i é possível em princípio, mas resulta em expressões algébricas bastante complexas (polinomiais de alto grau). Em vez disso, em prática, usa-se métodos numéricos ou decomposição do Hamiltoniano para obter P de forma robusta.]

Passo 5

Métodos práticos para obter a solução P e K analiticamente/numericamente quando A e B são conhecidos.
Opções:
  • Método direto (resolução simbólica): substituir A e B nas três equações do Passo 4 e resolver o sistema não-linear para p_{11},p_{12},p_{22}. Em muitos casos isso pode ser feito simbolicamente com um CAS (Mathematica, Maple, SymPy) mas as expressões ficam feias.
  • Método da matriz Hamiltoniana (método analítico padrão): formar
H=\begin{pmatrix} A & -B R^{-1} B^T\\[4pt] -Q & -A^T\end{pmatrix},
calcular a subespaço próprio estável (autovalores com parte real negativa), particionar os autovetores estáveis em blocos \begin{pmatrix} X\\\ Y \end{pmatrix} e então obter
P = Y X^{-1}.
Esse é um procedimento “analítico” no sentido de usar decomposição espectral, mas na prática usa-se numérico para estabilidade/robustez.
  • Usar rotinas prontas (recomendado em provas práticas): por exemplo, em MATLAB/Octave \texttt{K = lqr(A,B,Q,R)}, ou bibliotecas de Python ( \texttt{scipy.linalg.solve_continuous_are} e depois K por R^{-1}B^T P).]

Passo 6

Resumo do passo a passo concreto que eu executaria assim que você (ou o enunciado) fornecer as matrizes A e B do ponto 8 — faça assim na prova ou no computador:
  1. Verificar unidades dos estados em A,B e garantir que estão em radianos/rad/s.
  2. Construir Q e R pela regra de Bryson como no Passo 3 (valores numéricos já calculados).
  3. Resolver a CARE:
A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q = 0
pelo método desejado (isolando p_{11},p_{12},p_{22} ou usando Hamiltoniano).
4. Calcular
K = R^{-1} B^T P.
  1. Verificar estabilidade do sistema fechado-loop A_\text{cl} = A - B K (todos os autovalores com parte real negativa).
  2. Se necessário ajustar pesos em Q ou R para obter o compromisso desejado entre desempenho e esforço de controle.

Passo 7

Exemplo simbólico (ilustrativo) para ver como K depende de P e dos elementos de B. Suponha que achamos P. Então, explicitamente,
K = \begin{pmatrix}R^{-1} (b_1 p_{11} + b_2 p_{12}) & R^{-1} (b_1 p_{12} + b_2 p_{22})\end{pmatrix}.
Isto mostra claramente que sem os valores numéricos de b_1,b_2 (componentes de B) e sem os p_{ij} não se obtém um K numérico.

Passo 8

Conclusão e o que eu posso entregar já neste momento:
  • Eu calculei as matrizes Q e R pedidas pela regra de Bryson (valores numéricos, assumindo os três variáveis citadas e conversão para radianos).
  • Não posso calcular numericamente a matriz de ganho K porque as matrizes do sistema \;A\; e \;B\; da dinâmica de período curto do A310 (do ponto 8) não foram fornecidas aqui. Para obter K numérico você precisa me enviar essas matrizes ou confirmar os seus elementos; com isso eu executo os passos do Passo 6 e devolvo K.
Mantenha a calma — se você colar aqui as matrizes A e B do ponto 8 eu já calculo P e K e te mostro passo a passo como fiz os cálculos.

Resposta

Não é possível calcular a matriz de ganhos K porque as matrizes do sistema A e B (dinâmica de período curto do A310 do ponto 8) não foram fornecidas.\n\nMatrizes Q e R segundo a regra de Bryson (com conversão para radianos):\n Q \approx \begin{pmatrix}131{,}32 & 0\\[4pt] 0 & 32{,}8287\end{pmatrix},\qquad R \approx \begin{pmatrix}14{,}591\end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados