Considere o sistema genérico a seguir.
Partindo dessa expressão matricial padrão e utilizando a definição de função de transferência,
, obtenha uma expressão matricial (uma matriz
) para
em termos das matrizes
e da matriz identidade. (OBS.: Ao fazer a transformada de Laplace das equaçōes de espaço de estados use a forma matricial. Não é necessário abrir as equações de movimento explicitamente.)
Em seguida, considere o sistema abaixo e substitua os valores de cada elemento de matriz na expressão encontrada anteriormente, para encontrar os quatro elementos da matriz
.
Em seguida, considere o sistema abaixo e substitua os valores de cada elemento de matriz na expressão encontrada anteriormente, para encontrar os quatro elementos da matriz
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um sistema dinâmico representado pelas equações de estado:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a função de transferência
desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de espaço de estados e transformada de Laplace. Vamos precisar manipular matrizes e entender como elas interagem nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de transferência. Ela relaciona a transformada de Laplace da entrada
com a saída
, ou seja:
Mas para sistemas de múltiplas entradas e saídas, essa relação é mais elaborada. A gente precisa expressar
em termos de
.
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace nas equações de estado. Lembrando que
. Assumindo que as condições iniciais são zero (
), temos:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Agora, substituímos
na equação da saída:
Fatorando
:
Passo 5
Então, a função de transferência matricial
é:
Essa é a expressão geral que relaciona as matrizes do sistema com a função de transferência.
Passo 6
Agora, vamos substituir as matrizes específicas fornecidas:
Vamos calcular cada parte da expressão.
Passo 7
Primeiro, calculamos
:
Agora, encontramos o inverso dessa matriz. Para uma matriz
, o inverso é
.
Então,
Passo 8
Agora, multiplicamos
:
Primeiro, multiplicamos
pelo inverso:
Em seguida, multiplicamos pelo
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, somamos a matriz
:
Então,
Para somar as matrizes, trazemos para o denominador comum:
Resposta
A matriz da função de transferência
é: