Considere o sistema genérico a seguir.
l dotx=A x+B u y=C x+D u
Partindo dessa expressão matricial padrão e utilizando a definição de função de transferência, G(s), obtenha uma expressão matricial (uma matriz 2 times 2 ) para G(s) em termos das matrizes A(s), B(s), C(s), D(s) e da matriz identidade. (OBS.: Ao fazer a transformada de Laplace das equaçōes de espaço de estados use a forma matricial. Não é necessário abrir as equações de movimento explicitamente.)
Em seguida, considere o sistema abaixo e substitua os valores de cada elemento de matriz na expressão encontrada anteriormente, para encontrar os quatro elementos da matriz G(s).
l [l dotx1 dotx2 ]=[rr -1 & -1 5 & 0 ][l x1 x2 ]+[ll 1 & 1 1 & 0 ][l u1 u2 ] [l y1 y2 ]=[ll 1 & 0 0 & 1 ][l x1 x2 ]+[ll 1 & 0 0 & 0 ][l u1 u2 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um sistema dinâmico representado pelas equações de estado:
l dotx=A x+B u y=C x+D u
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a função de transferência desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de espaço de estados e transformada de Laplace. Vamos precisar manipular matrizes e entender como elas interagem nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de transferência. Ela relaciona a transformada de Laplace da entrada G(s) = Y(s) cdot U(s)^-1 com a saída , ou seja:
Mas para sistemas de múltiplas entradas e saídas, essa relação é mais elaborada. A gente precisa expressar em termos de .

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Laplace nas equações de estado. Lembrando que sX(s) = AX(s) + BU(s) . Assumindo que as condições iniciais são zero ( (sI - A)X(s) = BU(s) X(s) = (sI - A)^-1BU(s) ), temos:
Agora, isolamos :

Passo 4

Agora, substituímos Y(s) = CX(s) + DU(s) Y(s) = C(sI - A)^-1BU(s) + DU(s) na equação da saída:
Y(s) = [C(sI - A)^-1B + D]U(s)
Fatorando :

Passo 5

Então, a função de transferência matricial G(s) = C(sI - A)^-1B + D é:
Essa é a expressão geral que relaciona as matrizes do sistema com a função de transferência.

Passo 6

Agora, vamos substituir as matrizes específicas fornecidas:
A = -1 & -1 5 & 0 , B = 1 & 1 1 & 0 , C = 1 & 0 0 & 1 , D = 1 & 0 0 & 0
Vamos calcular cada parte da expressão.

Passo 7

Primeiro, calculamos sI - A = s+1 & 1 -5 & s :
a & b c & d
Agora, encontramos o inverso dessa matriz. Para uma matriz d & -b -c & a , o inverso é (sI - A)^-1 = 1(s+1)s - (1)(-5) s & -1 5 & s+1 = 1s^2 + s + 5 s & -1 5 & s+1 .
Então,

Passo 8

Agora, multiplicamos C = 1 & 0 0 & 1 , B = 1 & 1 1 & 0 :
C(sI - A)^-1 = 1s^2 + s + 5 s & -1 5 & s+1
Primeiro, multiplicamos 1s^2 + s + 5 s & -1 5 & s+1 1 & 1 1 & 0 = 1s^2 + s + 5 s cdot 1 + (-1) cdot 1 & s cdot 1 + (-1) cdot 0 5 cdot 1 + (s+1) cdot 1 & 5 cdot 1 + (s+1) cdot 0 pelo inverso:
= 1s^2 + s + 5 s - 1 & s 5 + s + 1 & 5 = 1s^2 + s + 5 s - 1 & s s + 6 & 5
Em seguida, multiplicamos pelo :
Simplificando:

Passo 9

Agora, somamos a matriz D = 1 & 0 0 & 0 :
G(s) = 1s^2 + s + 5 s - 1 & s s + 6 & 5 + 1 & 0 0 & 0 = 1s^2 + s + 5 s - 1 & s s + 6 & 5 + 1 & 0 0 & 0
Então,
G(s) = 1s^2 + s + 5 s - 1 + s^2 + s + 5 & s s + 6 & 5 = 1s^2 + s + 5 s^2 + 2s + 4 & s s + 6 & 5
Para somar as matrizes, trazemos para o denominador comum:

Resposta

A matriz da função de transferência G(s) = 1s^2 + s + 5 s^2 + 2s + 4 & s s + 6 & 5 é:

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