Um determinado sistema é definido pela seguinte equação de diferenças:
Determine a resposta ao impulso do sistema usando transformada z
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação de diferenças que descreve um sistema:
O objetivo é encontrar a resposta ao impulso desse sistema usando a Transformada Z. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações de diferença, Transformada Z e como aplicá-la para encontrar a resposta ao impulso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a resposta ao impulso,
, é a saída do sistema quando a entrada
é um impulso unitário, ou seja,
.
Então, vamos substituir
por
na equação dada:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada Z em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada Z de
é
e a de
é
.
Aplicando a Transformada Z:
Passo 4
Nosso objetivo é isolar
. Vamos reorganizar a equação para trazer todos os termos com
para um lado:
Fatorando
:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Para facilitar a manipulação, multiplicamos numerador e denominador por
:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Essa é a Função de Transferência
do sistema:
Passo 7
Para encontrar a resposta ao impulso
, precisamos calcular a Transformada Z Inversa de
.
Primeiro, fatoramos o denominador:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:
Passo 8
Agora, podemos escrever
usando as raízes encontradas:
Aplicando a Transformada Z Inversa, obtemos:
Onde
e
são constantes que determinaremos usando condições iniciais.
Passo 9
Considerando que a resposta ao impulso começa em
, e aplicando as condições iniciais, encontramos que:
Resposta
Portanto, a resposta ao impulso do sistema é: