Um determinado sistema é definido pela seguinte equação de diferenças:
y[n]=x[n-2]-0,4 y[n-1]+0,3 y[n-2]
Determine a resposta ao impulso do sistema usando transformada z

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação de diferenças que descreve um sistema:
y[n] = x[n-2] - 0,4, y[n-1] + 0,3, y[n-2]
O objetivo é encontrar a resposta ao impulso desse sistema usando a Transformada Z. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações de diferença, Transformada Z e como aplicá-la para encontrar a resposta ao impulso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a resposta ao impulso, y[n] = de, é a saída do sistema quando a entrada é um impulso unitário, ou seja, .
Então, vamos substituir por na equação dada:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada Z em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada Z de Y(z) = z^-2 - 0,4, Y(z), z^-1 + 0,3, Y(z), z^-2 é e a de é .
Aplicando a Transformada Z:

Passo 4

Nosso objetivo é isolar Y(z) + 0,4, z^-1 Y(z) - 0,3, z^-2 Y(z) = z^-2 . Vamos reorganizar a equação para trazer todos os termos com Y(z) (1 + 0,4, z^-1 - 0,3, z^-2) = z^-2 para um lado:
Fatorando :

Passo 5

Agora, isolamos Y(z) = z^-21 + 0,4, z^-1 - 0,3, z^-2 :
Y(z) = 1z^2 + 0,4, z - 0,3
Para facilitar a manipulação, multiplicamos numerador e denominador por :

Passo 6

Simplificando a expressão:
Y(z) = 1z^2 + 0,4, z - 0,3
Essa é a Função de Transferência H(z) = 1z^2 + 0,4, z - 0,3 do sistema:

Passo 7

Para encontrar a resposta ao impulso z^2 + 0,4, z - 0,3 = (z - a)(z - b) , precisamos calcular a Transformada Z Inversa de z = -0,4 pm raiz(0,4)^2 + 4 cdot 1 cdot 0,32 = -0,4 pm raiz0,16 + 1,22 = -0,4 pm raiz1,362 .
Primeiro, fatoramos o denominador:
z = -0,4 pm 1,1662
Resolvendo a equação quadrática:
a = -0,4 + 1,1662 = 0,383
b = -0,4 - 1,1662 = -0,783
Então, as raízes são:

Passo 8

Agora, podemos escrever H(z) = 1(z - 0,383)(z + 0,783) usando as raízes encontradas:
h[n] = A cdot (0,383)^n + B cdot (-0,783)^n
Aplicando a Transformada Z Inversa, obtemos:
Onde e são constantes que determinaremos usando condições iniciais.

Passo 9

Considerando que a resposta ao impulso começa em A = 11 + 0,783 approx 0,56 , e aplicando as condições iniciais, encontramos que:
B = 11 - 0,383 approx 0,62

Resposta

Portanto, a resposta ao impulso do sistema é:
h[n] approx 0,56 cdot (0,383)^n + 0,62 cdot (-0,783)^n

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