Dada a REE
dotx=[cc 0 & 1 -20 & -4 ] x+[c 0 0,2 ] u y=[ll 1 & 0 ] x
Obtenha a equação E / S desse sistema, na qual y é a saída e u é a entrada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema representado por um Espaço de Estados (REE) e precisa encontrar a equação de transferência desse sistema. Basicamente, vamos converter a representação em espaço de estados para uma função de transferência, que relaciona a entrada com a saída . Para isso, vamos precisar entender um pouco de Álgebra Linear e Transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a forma geral de um sistema no espaço de estados:
dotx = A x + B u y = C x + D u
No seu caso, a matriz Y(s)U(s) = C (sI - A)^-1 B + D não está presente, então . Agora, a função de transferência pode ser obtida usando a seguinte fórmula:
Vamos aplicar essa fórmula ao seu sistema.

Passo 3

Vamos identificar as matrizes A = 0 & 1 -20 & -4 , B = 0 0,2 , C = 1 & 0 , D = 0 , , e no seu sistema:

Passo 4

Agora, precisamos calcular sI = s & 0 0 & s . O que significa sI - A = s & 0 0 & s - 0 & 1 -20 & -4 = s & -1 20 & s+4 ? É a matriz identidade multiplicada por , onde é a variável complexa na Transformada de Laplace.
Então,

Passo 5

Precisamos encontrar o inverso de a & b c & d ^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a , ou seja, Determinante = s(s + 4) - (-1)(20) = s^2 + 4s + 20 . Para uma matriz 2x2, o inverso é dado por:
(sI - A)^-1 = 1s^2 + 4s + 20 s + 4 & 1 -20 & s
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 6

Agora, vamos calcular C = 1 & 0 , B = 0 0,2 :
C (sI - A)^-1 B = 1 & 0 s + 4 & 1 -20 & s 0 0,2
Multiplicando as matrizes:
s + 4 & 1 -20 & s 0 0,2 = (s + 4)(0) + 1(0,2) (-20)(0) + s(0,2) = 0,2 0,2s
Primeiro, multiplicamos 1 & 0 0,2 0,2s = 1 times 0,2 + 0 times 0,2s = 0,2 por :
Agora, multiplicamos por :

Passo 7

Lembrando que Y(s)U(s) = 0,2 + 0 = 0,2 , a função de transferência fica:

Resposta

A equação de transferência Y(s)U(s) = 0,2s^2 + 4s + 20 do sistema dado é:

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