Dada a seguinte equação de um sistema:
Obtenha uma REE completa com entrada e saida .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem é uma equação diferencial de terceira ordem que descreve um sistema:
O que a gente precisa fazer é transformar essa equação em uma Representação de Estado (REE) completa, onde a entrada é e a saída é . Para isso, vamos usar conceitos de sistemas dinâmicos e álgebra linear para reescrever a equação em um conjunto de equações de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma REE completa envolve criar um vetor de estados que representa todas as variáveis necessárias para descrever o sistema completamente. Como a nossa equação é de terceira ordem, vamos precisar de três estados. Vamos definir:
Dessa forma, conseguimos reduzir a equação de terceira ordem para um sistema de três equações de primeira ordem.
Passo 3
Agora, vamos expressar as derivadas desses estados:
Precisamos encontrar . Para isso, vamos voltar à equação original e isolar :
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos organizar todas essas equações em forma matricial. O vetor de estados e as matrizes , , e ficam assim:
A saída , então:
Resposta
A Representação de Estado completa com entrada dotx1 = x2 dotx2 = x3 dotx3 = -21 x1 - 5 x3 + 0,03 u y = x2 e saída dotx1 dotx2 dotx3 = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -21 & 0 & -5 x1 x2 x3 + 0 0 0,03 u é: