Dada a seguinte equação de um sistema: 4 dddotz+20 ddotz+84 z=0,12 u
Obtenha uma REE completa com entrada u e saida y=dotz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem é uma equação diferencial de terceira ordem que descreve um sistema:
4 dddotz + 20 ddotz + 84 z = 0,12 u
O que a gente precisa fazer é transformar essa equação em uma Representação de Estado (REE) completa, onde a entrada é e a saída é . Para isso, vamos usar conceitos de sistemas dinâmicos e álgebra linear para reescrever a equação em um conjunto de equações de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma REE completa envolve criar um vetor de estados que representa todas as variáveis necessárias para descrever o sistema completamente. Como a nossa equação é de terceira ordem, vamos precisar de três estados. Vamos definir:
x1 = z
x2 = dotz
x3 = ddotz
Dessa forma, conseguimos reduzir a equação de terceira ordem para um sistema de três equações de primeira ordem.

Passo 3

Agora, vamos expressar as derivadas desses estados:
dotx1 = x2
dotx2 = x3
Precisamos encontrar 4 dddotz = -20 ddotz - 84 z + 0,12 u . Para isso, vamos voltar à equação original e isolar dddotz = -204 ddotz + -844 z + 0,124 u :
dddotz = -5 x3 - 21 x1 + 0,03 u
dotx3 = -5 x3 - 21 x1 + 0,03 u
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos organizar todas essas equações em forma matricial. O vetor de estados x = x1 x2 x3 , A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -21 & 0 & -5 , B = 0 0 0,03 e as matrizes C = 0 & 1 & 0 , D = 0 , , e ficam assim:
A saída , então:

Resposta

A Representação de Estado completa com entrada dotx1 = x2 dotx2 = x3 dotx3 = -21 x1 - 5 x3 + 0,03 u y = x2 e saída dotx1 dotx2 dotx3 = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -21 & 0 & -5 x1 x2 x3 + 0 0 0,03 u é:
y = 0 & 1 & 0 x1 x2 x3
Ou, de forma matricial:

[



+

u
]

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