Considere um sistema isolado formado por duas subpartes. Cada subparte é constituída por um gás ideal, com números totais de estados acessíveis dados respectivamente por
constante. Encontre a razão entre
e
em termos dos parâmetros dos gases utilizando a condição de equilíbrio térmico.
Passo 1
O enunciado fornece as funções número de microestados das duas subpartes (cada uma é um gás ideal) e a restrição de energia total. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
- Dados:
-
. (assumindo que o expoente do volume é , compatível com o número de partículas da subparte 1) -
. (assumindo expoente para a parte 2) - Energia total conservada:
constante. -
é uma constante comum (não depende de ).
-
- Pedido:
- Encontrar a razão entre
e , isto é , em termos dos parâmetros dos gases (como e ), usando a condição de equilíbrio térmico.
- Encontrar a razão entre
Passo 2
Princípio físico e estratégia (sem resolver ainda).
- Em mecânica estatística, a entropia de Boltzmann é dada por
onde
é a constante de Boltzmann e
é o número de microestados acessíveis.
- Para um sistema isolado composto de duas subpartes que trocam energia, o equilíbrio térmico ocorre quando a entropia total
é máxima sujeito à restrição . - Procedimento prático: maximizar
variando (com ). A condição de máximo (primeira derivada nula) dá
Isso levará à igualdade de derivadas das entropias das subpartes, que se interpreta como igualdade de temperaturas.
Passo 3
Escrever a entropia de cada subparte e a entropia total.
- Para a subparte 1:
- Para a subparte 2:
- Entropia total:
Passo 4
Aplicar a condição de equilíbrio: derivada da entropia total em relação a
é zero.
- Como
, pelo teorema da cadeia:
- Mas
. Portanto a condição é
ou seja
- Observação conceitual:
, então essa condição é simplesmente a igualdade das temperaturas das duas subpartes no equilíbrio.
Passo 5
Calcular explicitamente as derivadas
.
- Da expressão de
:
- Da expressão de
:
- Igualando as duas derivadas conforme a condição de equilíbrio:
Passo 6
Simplificar a igualdade e resolver para
.
- Cancelando os fatores comuns
e , obtemos
- Reorganizando,
Passo 7
Interpretação física (aula rápida e intuitiva).
- Para um gás ideal monatomicamente modelado aqui, a energia interna é proporcional ao número de partículas e à temperatura:
. Igualando as temperaturas no equilíbrio, chega-se imediatamente em
o que coincide com o resultado obtido pela maximização da entropia.
- Interpretação: no equilíbrio térmico, a energia total se distribui de modo que cada partícula recebe, em média, a mesma energia (mesmo valor médio por partícula), por isso a razão das energias totais é a razão dos números de partículas.