Considere um sistema isolado formado por duas subpartes. Cada subparte é constituída por um gás ideal, com números totais de estados acessíveis dados respectivamente por
\begin{aligned} & \Omega_{1}\left(V_{1}, E_{1}\right)=B V_{1}^{N} E_{1}^{3 N_{1} / 2} \\\ & \Omega_{2}\left(V_{2}, E_{2}\right)=B V_{2}^{N} E_{2}^{3 N_{2} / 2} \end{aligned}
\operatorname{com} E_{\text {total }}=E_{1}+E_{2}= constante. Encontre a razão entre E_{1} e E_{2} em termos dos parâmetros dos gases utilizando a condição de equilíbrio térmico.

Passo 1

O enunciado fornece as funções número de microestados das duas subpartes (cada uma é um gás ideal) e a restrição de energia total. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Dados:
    • \Omega_{1}\left(V_{1},E_{1}\right)=B\,V_{1}^{N_1}\,E_{1}^{3N_{1}/2}. (assumindo que o expoente do volume é N_1, compatível com o número de partículas da subparte 1)
    • \Omega_{2}\left(V_{2},E_{2}\right)=B\,V_{2}^{N_2}\,E_{2}^{3N_{2}/2}. (assumindo expoente N_2 para a parte 2)
    • Energia total conservada: E_{\text{total}}=E_{1}+E_{2}= constante.
    • B é uma constante comum (não depende de E_i).
  • Pedido:
    • Encontrar a razão entre E_{1} e E_{2}, isto é \dfrac{E_{1}}{E_{2}}, em termos dos parâmetros dos gases (como N_1 e N_2), usando a condição de equilíbrio térmico.

Passo 2

Princípio físico e estratégia (sem resolver ainda).
  • Em mecânica estatística, a entropia de Boltzmann é dada por
S = k \ln \Omega,
onde k é a constante de Boltzmann e \Omega é o número de microestados acessíveis.
  • Para um sistema isolado composto de duas subpartes que trocam energia, o equilíbrio térmico ocorre quando a entropia total S_{\text{tot}}=S_{1}+S_{2} é máxima sujeito à restrição E_{1}+E_{2}=E_{\text{total}}.
  • Procedimento prático: maximizar S_{\text{tot}} variando E_{1} (com E_{2}=E_{\text{total}}-E_{1}). A condição de máximo (primeira derivada nula) dá
\frac{\partial S_{\text{tot}}}{\partial E_{1}}=0.
Isso levará à igualdade de derivadas das entropias das subpartes, que se interpreta como igualdade de temperaturas.

Passo 3

Escrever a entropia de cada subparte e a entropia total.
  • Para a subparte 1:
S_{1}=k\ln\Omega_{1}=k\bigl(\ln B + N_{1}\ln V_{1} + \tfrac{3N_{1}}{2}\ln E_{1}\bigr).
  • Para a subparte 2:
S_{2}=k\ln\Omega_{2}=k\bigl(\ln B + N_{2}\ln V_{2} + \tfrac{3N_{2}}{2}\ln E_{2}\bigr).
  • Entropia total:
S_{\text{tot}}=S_{1}+S_{2}.

Passo 4

Aplicar a condição de equilíbrio: derivada da entropia total em relação a E_{1} é zero.
  • Como E_{2}=E_{\text{total}}-E_{1}, pelo teorema da cadeia:
\frac{dS_{\text{tot}}}{dE_{1}}=\frac{\partial S_{1}}{\partial E_{1}}+\frac{\partial S_{2}}{\partial E_{2}}\cdot\frac{dE_{2}}{dE_{1}}.
  • Mas \dfrac{dE_{2}}{dE_{1}}=-1. Portanto a condição dS_{\text{tot}}/dE_{1}=0 é
\frac{\partial S_{1}}{\partial E_{1}}-\frac{\partial S_{2}}{\partial E_{2}}=0,
ou seja
\frac{\partial S_{1}}{\partial E_{1}}=\frac{\partial S_{2}}{\partial E_{2}}.
  • Observação conceitual: \dfrac{\partial S}{\partial E}=\dfrac{1}{T}, então essa condição é simplesmente a igualdade das temperaturas das duas subpartes no equilíbrio.

Passo 5

Calcular explicitamente as derivadas \partial S_{i}/\partial E_{i}.
  • Da expressão de S_{1}:
\frac{\partial S_{1}}{\partial E_{1}}=k\cdot\frac{3N_{1}}{2}\cdot\frac{1}{E_{1}}.
  • Da expressão de S_{2}:
\frac{\partial S_{2}}{\partial E_{2}}=k\cdot\frac{3N_{2}}{2}\cdot\frac{1}{E_{2}}.
  • Igualando as duas derivadas conforme a condição de equilíbrio:
k\cdot\frac{3N_{1}}{2}\cdot\frac{1}{E_{1}}=k\cdot\frac{3N_{2}}{2}\cdot\frac{1}{E_{2}}.

Passo 6

Simplificar a igualdade e resolver para \dfrac{E_{1}}{E_{2}}.
  • Cancelando os fatores comuns k e \tfrac{3}{2}, obtemos
\frac{N_{1}}{E_{1}}=\frac{N_{2}}{E_{2}}.
  • Reorganizando,
\frac{E_{1}}{E_{2}}=\frac{N_{1}}{N_{2}}.

Passo 7

Interpretação física (aula rápida e intuitiva).
  • Para um gás ideal monatomicamente modelado aqui, a energia interna é proporcional ao número de partículas e à temperatura: E_{i}=(3/2)N_{i}kT_{i}. Igualando as temperaturas T_{1}=T_{2} no equilíbrio, chega-se imediatamente em
\frac{E_{1}}{E_{2}}=\frac{N_{1}}{N_{2}},
o que coincide com o resultado obtido pela maximização da entropia.
  • Interpretação: no equilíbrio térmico, a energia total se distribui de modo que cada partícula recebe, em média, a mesma energia (mesmo valor médio por partícula), por isso a razão das energias totais é a razão dos números de partículas.

Resposta

\displaystyle \frac{E_{1}}{E_{2}}=\frac{N_{1}}{N_{2}}

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