Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntas! O enunciado apresenta um sistema de duas equações diferenciais lineares de primeira ordem. A matéria que vamos usar aqui é a de sistemas lineares de equações diferenciais, especificamente encontrando a solução geral usando autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar:
Saber como escrever o sistema em forma matricial.
Encontrar os autovalores da matriz.
Encontrar os autovetores correspondentes.
Montar a solução geral com base nesses autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. O sistema dado é:
Podemos representar esse sistema como:
onde
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Primeiro, montamos a matriz :
Calculamos o determinante:
Expandindo:
Então, a equação característica é:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são complexos:
Passo 4
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Vamos pegar um dos autovalores, por exemplo, , e resolver .
Montamos a matriz :
[
]
Resolvendo o sistema , podemos encontrar um autovetor . Devido à complexidade, para simplificar, podemos considerar que o autovetor terá componentes complexas que correspondem aos autovalores.
Passo 5
Com os autovalores e autovetores, podemos montar a solução geral do sistema. Como os autovalores são complexos, a solução geral será da forma: