Estude a convergência da sequência:
(-1)^n raizn

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência an = (-1)^nraizn. O conteúdo envolvido é convergência de sequência real, e vamos usar tanto a definição de limite finito quanto a análise de subsequências.

Passo 2

Uma sequência an converge para um limite finito L se, para todo varepsilon>0, existe N tal que |an - L| sempre que n>= N. Se an não se aproxima de um único L em R, dizemos que diverge.

Passo 3

Considere a subsequência de índices pares n=2k. Temos a2k=(-1)^2kraiz2k=raiz2k. Como raiz2kto +infty quando ktoinfty, essa subsequência diverge para +∞.

Passo 4

Considere a subsequência de índices ímpares n=2k+1. Temos a2k+1=(-1)^2k+1raiz2k+1=-raiz2k+1. Como -raiz2k+1to -infty quando ktoinfty, essa subsequência diverge para -∞.

Passo 5

Para que an convergisse para algum L finito, ambas as subsequências (pares e ímpares) teriam de tender ao mesmo L. Como uma vai a +∞ e a outra a -∞, não há limite comum em R. Portanto, an diverge.

Resposta

A sequência diverge; não converge para nenhum número real.

Exercícios relacionados