Considere o sistema:
\left\{\begin{array}{l} 4 x+1 y+0 z+5 w=19 \\\\ 8 x+4 y+0 z+12 w=52 \\\\ 6 x+2 y+1 z+9 w=41 \\\\ 9 x+3 y+0 z+12 w=48 \end{array}\right.
Determine:
O posto da matriz dos coeficientes, o posto da matriz aumentada e o grau de liberdade, ou seja, o número de variáveis livres, caso existam. Classifique esse sistema usando o Teorema de Rouche-Capelli e exiba, caso exista sua solução geral usando o método de Gauss-Jordan.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de quatro equações e quatro incógnitas:
\left\{\begin{array}{l} 4x+1y+0z+5w=19 \\[4pt] 8x+4y+0z+12w=52 \\[4pt] 6x+2y+1z+9w=41 \\[4pt] 9x+3y+0z+12w=48 \end{array}\right.
O que se pede:
  • O posto da matriz dos coeficientes.
  • O posto da matriz aumentada.
  • O grau de liberdade (número de variáveis livres), se existirem.
  • Classificar o sistema usando o Teorema de Rouche-Capelli.
  • Se existir solução, exibir a solução geral usando Gauss–Jordan.
Informações úteis que já temos diretamente do enunciado:
  • Existem 4 incógnitas: x,y,z,w.
  • A matriz dos coeficientes é a matriz 4\times4 cujas linhas são os coeficientes das equações acima.
  • A matriz aumentada é essa matriz com a coluna de termos constantes (19,52,41,48)^T anexada.]

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada e começar a eliminação (colocarei a barra para separar coeficientes e termos constantes):
\left[\begin{array}{cccc|c} 4 & 1 & 0 & 5 & 19\\[4pt] 8 & 4 & 0 & 12 & 52\\[4pt] 6 & 2 & 1 & 9 & 41\\[4pt] 9 & 3 & 0 & 12 & 48 \end{array}\right]
O objetivo do método de Gauss–Jordan é transformar essa matriz por operações elementares de linha em uma forma escalonada reduzida (ou forma reduzida por linhas), de onde lemos os pivôs, a consistência e as variáveis livres.]

Passo 3

Eliminação na primeira coluna (usar a primeira linha para zerar as entradas abaixo). Para evitar frações, uso combinações inteiras (essas combinações são equivalentes a aplicar operações elementares: multiplicar linha por escalar e somar/subtrair linhas):
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
  • R_3 \leftarrow 2R_3 - 3R_1 (multiplica R_3 por 2 e subtrai 3 vezes R_1).
  • R_4 \leftarrow 4R_4 - 9R_1 (multiplica R_4 por 4 e subtrai 9 vezes R_1).
Aplicando essas operações obtemos:
\left[\begin{array}{cccc|c} 4 & 1 & 0 & 5 & 19\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 2 & 14\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3 & 25\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 3 & 21 \end{array}\right]
(Obs.: essas transformações são válidas porque multiplicar uma linha por escalar não nula e somar múltiplos de linhas são operações elementares que preservam o espaço de soluções.)]

Passo 4

Agora escolhemos R_2 para pivô na segunda coluna. Primeiro normalizamos R_2 dividindo por 2:
R_2 \leftarrow \tfrac{1}{2} R_2 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{cccc|c} 4 & 1 & 0 & 5 & 19\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3 & 25\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 3 & 21 \end{array}\right]
Agora zeramos a coluna y nas outras linhas usando R_2:
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
  • R_4 \leftarrow R_4 - 3R_2.
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_2 (vou fazer isso depois para ficar em forma reduzida).
Aplicando R_3 \leftarrow R_3 - R_2 e R_4 \leftarrow R_4 - 3R_2 obtemos:
\left[\begin{array}{cccc|c} 4 & 1 & 0 & 5 & 19\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 2 & 18\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Perceba que a quarta linha virou a linha nula [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid 0], o que é um bom sinal de que possivelmente temos pivôs em apenas 3 linhas.]

Passo 5

Agora tratamos a terceira coluna (variável z). Temos R_3 = [0\\\ 0\\\ 2\\\ 2\mid 18]. Normalizamos dividindo por 2:
R_3 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_3 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{cccc|c} 4 & 1 & 0 & 5 & 19\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 9\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Agora fazemos o passo final de Gauss–Jordan: zerar acima dos pivôs e normalizar a primeira linha em relação ao pivô em x.
  • Primeiro elimino a entrada y da primeira linha: R_1 \leftarrow R_1 - R_2 (já que R_2 tem 1 na coluna y):
R_1 \leftarrow R_1 - R_2 \\ \Rightarrow\\ [4\\\ 0\\\ 0\\\ 4\mid 12].
  • Em seguida, divido R_1 por 4 para ter pivô unitário em x:
R_1 \leftarrow \tfrac{1}{4} R_1 \\ \Rightarrow\\ [1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\mid 3].
Aplicando essas últimas operações (note que as colunas z já estavam com zeros em linhas 1 e 2), a forma reduzida final da matriz aumentada é:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 9\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]]

Passo 6

Interpretando a forma reduzida por linhas:
  • As três primeiras linhas dão as equações: \begin{aligned} &x + w = 3,\\\ &y + w = 7,\\\ &z + w = 9. \end{aligned}
  • A quarta linha é 0=0, que não impõe restrição adicional.
Portanto as variáveis x,y,z são expressas em função de w. Escolhemos a variável livre w como parâmetro t\in\mathbb{R}:
w=t,\qquad x=3-t,\qquad y=7-t,\qquad z=9-t.
Em forma vetorial, a solução geral pode ser escrita como
\begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ 7\\\ 9\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}, \qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 7

Agora extraímos os dados pedidos (definições curtas e aplicação):
  • O posto (rank) de uma matriz é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes, igual ao número de pivôs na forma escalonada.
  • Na forma reduzida acima há pivôs em três linhas (colunas correspondentes a x,y,z), logo o posto da matriz dos coeficientes é 3.
  • A matriz aumentada também tem exatamente três linhas não nulas (o quarto é nula), então seu posto também é 3.
Aplicando o Teorema de Rouche–Capelli:
  • Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b]) então o sistema é compatível (tem solução).
  • Se esse posto for igual ao número de incógnitas n então a solução é única; se for menor que n então há infinitas soluções com n-\operatorname{rank} graus de liberdade.
Aqui:
\operatorname{rank}(A)=3,\qquad \operatorname{rank}([A\mid b])=3,\qquad n=4.
Logo o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções) e o número de variáveis livres é
n-\operatorname{rank}(A)=4-3=1.

Resposta

\operatorname{rank}(A)=3
\operatorname{rank}([A\mid b])=3
Grau de liberdade (nº de variáveis livres) =1
Classificação (Rouche–Capelli): sistema compatível indeterminado (infinitas soluções)
Solução geral: \displaystyle x=3-t,\; y=7-t,\; z=9-t,\; w=t,\; t\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados