Determine:
O posto da matriz dos coeficientes, o posto da matriz aumentada e o grau de liberdade, ou seja, o número de variáveis livres, caso existam. Classifique esse sistema usando o Teorema de Rouche-Capelli e exiba, caso exista sua solução geral usando o método de Gauss-Jordan.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema de quatro equações e quatro incógnitas:
O objetivo do método de Gauss–Jordan é transformar essa matriz por operações elementares de linha em uma forma escalonada reduzida (ou forma reduzida por linhas), de onde lemos os pivôs, a consistência e as variáveis livres.]
Passo 3
Eliminação na primeira coluna (usar a primeira linha para zerar as entradas abaixo). Para evitar frações, uso combinações inteiras (essas combinações são equivalentes a aplicar operações elementares: multiplicar linha por escalar e somar/subtrair linhas):
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
R_3 \leftarrow 2R_3 - 3R_1 (multiplica R_3 por 2 e subtrai 3 vezes R_1).
R_4 \leftarrow 4R_4 - 9R_1 (multiplica R_4 por 4 e subtrai 9 vezes R_1).
(Obs.: essas transformações são válidas porque multiplicar uma linha por escalar não nula e somar múltiplos de linhas são operações elementares que preservam o espaço de soluções.)]
Passo 4
Agora escolhemos R_2 para pivô na segunda coluna. Primeiro normalizamos R_2 dividindo por 2:
Agora extraímos os dados pedidos (definições curtas e aplicação):
O posto (rank) de uma matriz é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes, igual ao número de pivôs na forma escalonada.
Na forma reduzida acima há pivôs em três linhas (colunas correspondentes a x,y,z), logo o posto da matriz dos coeficientes é 3.
A matriz aumentada também tem exatamente três linhas não nulas (o quarto é nula), então seu posto também é 3.
Aplicando o Teorema de Rouche–Capelli:
Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b]) então o sistema é compatível (tem solução).
Se esse posto for igual ao número de incógnitas n então a solução é única; se for menor que n então há infinitas soluções com n-\operatorname{rank} graus de liberdade.