seja invertível. E considerando agora os valores de \lambda tais que \left|A_{\lambda}\right|=0, quál é a relação deles com o determinante da matriz A_{0} (A matriz que fica quando \lambda=0 ).
Pergunta 1: achar todos os valores de \lambda\in\mathbb{R} para os quais A_{\lambda} é invertível.
Pergunta 2 (parte E): considerando os valores de \lambda tais que \left|A_{\lambda}\right|=0, qual é a relação desses valores com o determinante da matriz A_{0} (a matriz obtida substituindo \lambda=0).
Informações relevantes que vamos usar (retiradas do enunciado):
Os elementos da matriz dependem linearmente de \lambda nas posições indicadas.
Não há outras figuras ou dados; todos os dados necessários estão na matriz acima.
Passo 2
Conceito-chave e estratégia (explicação didática):
Critério de invertibilidade: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Ou seja, A_{\lambda} é invertível \iff \det(A_{\lambda})\neq 0.
Como calcular \det(A_{\lambda}) de forma simples: observar a matriz e escolher uma linha ou coluna com zeros para fazer a expansão de Laplace (regra de cofatores). Aqui a primeira coluna tem zeros nas entradas (2,1) e (3,1), o que torna conveniente expandir pelo primeiro coluna: fica só o primeiro elemento não-nulo contribuindo.
Relembrando: se se expande pelo elemento a_{i1}, o termo é a_{i1}\cdot(-1)^{i+1} vezes o determinante do menor (matriz que sobra ao remover linha i e coluna 1). No nosso caso, só o elemento a_{11}=4-\lambda contribui porque a_{21}=0 e a_{31}=0.
Passo 3
Cálculo do determinante passo a passo (sem pular etapas):
pois trocar os fatores por sinais apropriados apenas muda a ordem/assinatura, a raiz permanece a mesma.
Passo 4
Determinar para quais \lambda o determinante é zero e concluir invertibilidade:
Resolver \det(A_{\lambda})=0. Como \det(A_{\lambda}) = -\lambda( \lambda-3)(\lambda-4), os zeros são exatamente os valores que anulam um dos fatores:
\lambda=0,\quad \lambda=3,\quad \lambda=4.
Portanto \det(A_{\lambda})\neq 0 para todo \lambda\in\mathbb{R} exceto \lambda\in\{0,3,4\}.
Conclusão (relacionando com invertibilidade): A_{\lambda} é invertível exatamente quando \lambda não for 0,3 nem 4. Ou seja, A_{\lambda} é invertível para todos os \lambda com \lambda\notin\{0,3,4\}.
Passo 5
Resposta à parte E (relação com \det(A_{0})):
Os valores de \lambda tais que \left|A_{\lambda}\right|=0 são \{0,3,4\}.
A matriz A_{0} é a matriz obtida substituindo \lambda=0. O determinante \det(A_{0}) é simplesmente \det(A_{\lambda}) avaliado em \lambda=0:
Logo \det(A_{0})=0. Em palavras: 0 pertence ao conjunto de \lambda que anulam \det(A_{\lambda}), portanto A_{0} é singular (não invertível).
Observação adicional útil para prova/entendimento: \det(A_{\lambda}) é um polinômio em \lambda. As raízes desse polinômio são exatamente os valores de \lambda que tornam a matriz singular; o fato de \lambda=0 ser uma dessas raízes é a razão pela qual \det(A_{0})=0.
Resposta
A_{\lambda} é invertível para \lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0,3,4\}.
Os valores que anulam \left|A_{\lambda}\right| são \lambda=0,3,4. Portanto \det(A_{0})=0 (pois 0 é uma das raízes de \det(A_{\lambda})=-\lambda(\lambda-3)(\lambda-4)).