Exercício 11. Achar todos os valores de \lambda \in \mathbb{R} para que a matriz
A_{\lambda}=\left[\begin{array}{ccc} (4-\lambda) & -10 & -6 \\\\ 0 & (3-\lambda) & 0 \\\\ 0 & -3 & -\lambda \end{array}\right]
seja invertível.
E considerando agora os valores de \lambda tais que \left|A_{\lambda}\right|=0, quál é a relação deles com o determinante da matriz A_{0} (A matriz que fica quando \lambda=0 ).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a família de matrizes A_{\lambda}:
A_{\lambda}=\left[\begin{array}{ccc} (4-\lambda) & -10 & -6 \\\\ 0 & (3-\lambda) & 0 \\\\ 0 & -3 & -\lambda \end{array}\right].
  • Pergunta 1: achar todos os valores de \lambda\in\mathbb{R} para os quais A_{\lambda} é invertível.
  • Pergunta 2 (parte E): considerando os valores de \lambda tais que \left|A_{\lambda}\right|=0, qual é a relação desses valores com o determinante da matriz A_{0} (a matriz obtida substituindo \lambda=0).
Informações relevantes que vamos usar (retiradas do enunciado):
  • Os elementos da matriz dependem linearmente de \lambda nas posições indicadas.
  • Não há outras figuras ou dados; todos os dados necessários estão na matriz acima.

Passo 2

Conceito-chave e estratégia (explicação didática):
  • Critério de invertibilidade: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Ou seja, A_{\lambda} é invertível \iff \det(A_{\lambda})\neq 0.
  • Como calcular \det(A_{\lambda}) de forma simples: observar a matriz e escolher uma linha ou coluna com zeros para fazer a expansão de Laplace (regra de cofatores). Aqui a primeira coluna tem zeros nas entradas (2,1) e (3,1), o que torna conveniente expandir pelo primeiro coluna: fica só o primeiro elemento não-nulo contribuindo.
  • Relembrando: se se expande pelo elemento a_{i1}, o termo é a_{i1}\cdot(-1)^{i+1} vezes o determinante do menor (matriz que sobra ao remover linha i e coluna 1). No nosso caso, só o elemento a_{11}=4-\lambda contribui porque a_{21}=0 e a_{31}=0.

Passo 3

Cálculo do determinante passo a passo (sem pular etapas):
  • Escrever a expansão pelo primeiro coluna:
\det(A_{\lambda}) = \begin{vmatrix} 4-\lambda & -10 & -6 \\\\ 0 & 3-\lambda & 0 \\\\ 0 & -3 & -\lambda \end{vmatrix} =(4-\lambda)\cdot \begin{vmatrix} 3-\lambda & 0 \\\\ -3 & -\lambda \end{vmatrix}.
  • Calcular o determinante do menor 2\times2. Para uma matriz \begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix} vale \det = ad-bc. Aqui:
\begin{vmatrix} 3-\lambda & 0 \\\\ -3 & -\lambda \end{vmatrix}=(3-\lambda)\cdot(-\lambda)-0\cdot(-3)=-(3-\lambda)\lambda.
  • Substituir de volta:
\det(A_{\lambda})=(4-\lambda)\cdot \bigl(-(3-\lambda)\lambda\bigr) = -\lambda(4-\lambda)(3-\lambda).
  • Podemos reescrever o polinômio factorizado de forma equivalente:
\det(A_{\lambda}) = -\lambda(\lambda-3)(\lambda-4),
pois trocar os fatores por sinais apropriados apenas muda a ordem/assinatura, a raiz permanece a mesma.

Passo 4

Determinar para quais \lambda o determinante é zero e concluir invertibilidade:
  • Resolver \det(A_{\lambda})=0. Como \det(A_{\lambda}) = -\lambda( \lambda-3)(\lambda-4), os zeros são exatamente os valores que anulam um dos fatores:
\lambda=0,\quad \lambda=3,\quad \lambda=4.
  • Portanto \det(A_{\lambda})\neq 0 para todo \lambda\in\mathbb{R} exceto \lambda\in\{0,3,4\}.
  • Conclusão (relacionando com invertibilidade): A_{\lambda} é invertível exatamente quando \lambda não for 0,3 nem 4. Ou seja, A_{\lambda} é invertível para todos os \lambda com \lambda\notin\{0,3,4\}.

Passo 5

Resposta à parte E (relação com \det(A_{0})):
  • Os valores de \lambda tais que \left|A_{\lambda}\right|=0 são \{0,3,4\}.
  • A matriz A_{0} é a matriz obtida substituindo \lambda=0. O determinante \det(A_{0}) é simplesmente \det(A_{\lambda}) avaliado em \lambda=0:
\det(A_{0})=\det(A_{\lambda})\big|_{\lambda=0} = -0(0-3)(0-4)=0.
Logo \det(A_{0})=0. Em palavras: 0 pertence ao conjunto de \lambda que anulam \det(A_{\lambda}), portanto A_{0} é singular (não invertível).
  • Observação adicional útil para prova/entendimento: \det(A_{\lambda}) é um polinômio em \lambda. As raízes desse polinômio são exatamente os valores de \lambda que tornam a matriz singular; o fato de \lambda=0 ser uma dessas raízes é a razão pela qual \det(A_{0})=0.

Resposta

A_{\lambda} é invertível para \lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0,3,4\}.
Os valores que anulam \left|A_{\lambda}\right| são \lambda=0,3,4. Portanto \det(A_{0})=0 (pois 0 é uma das raízes de \det(A_{\lambda})=-\lambda(\lambda-3)(\lambda-4)).

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