Exercício 12. Seja
uma matriz de ordem
tal que
. Calcular o determinante de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é uma matriz de ordem . - Tem-se a igualdade matricial
onde
é a matriz identidade
.
O que o enunciado pede: calcular , o determinante da matriz
.
O que o enunciado pede: calcular
Passo 2
Isolar
na igualdade dada, passo a passo:
Começo subtraindo de ambos os lados da igualdade:
Começo subtraindo
Calculo o lado direito:
Logo
Agora divido ambos os lados por
(isto é, multiplico por
):
Comentário curto: dividir uma igualdade matricial por um escalar é permitido e significa multiplicar cada entrada por esse escalar; aqui obtemos que
é simplesmente
vezes a identidade.
Passo 3
Relembrando a propriedade do determinante que vamos usar (explicação didática):
- Seja
uma matriz quadrada de ordem e um escalar. A propriedade é
O que isso significa: multiplicar uma matriz por um escalar
equivale a multiplicar cada uma das
linhas (ou colunas) por
; multiplicar uma linha por
multiplica o determinante por
, então ao multiplicar todas as
linhas o fator total no determinante é
.
Aqui as variáveis são:
Aqui as variáveis são:
-
: o escalar que multiplica a matriz; -
: a ordem (dimensão) da matriz quadrada; -
: função que associa a cada matriz seu determinante.
Um exemplo rápido e concreto (para fixar):
- Se
é e , então .
Passo 4
Aplicar a propriedade ao caso
:
Aqui ,
e
. Portanto
Aqui
Agora usar outra propriedade: a matriz identidade
tem determinante igual a
, porque é uma matriz diagonal com entradas da diagonal todas iguais a
, e o determinante de uma matriz diagonal é o produto das entradas da diagonal. Assim
Passo 5
Calcular o valor numérico:
logo