Exercício 12. Seja A uma matriz de ordem 3 \times 3 tal que 2 A+8 I_{3}=4 I_{3}. Calcular o determinante de A.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A é uma matriz de ordem 3\times3.
  • Tem-se a igualdade matricial
2A + 8I_{3} = 4I_{3},
onde I_{3} é a matriz identidade 3\times3.
O que o enunciado pede: calcular \det(A), o determinante da matriz A.

Passo 2

Isolar A na igualdade dada, passo a passo:
Começo subtraindo 8I_{3} de ambos os lados da igualdade:
2A = 4I_{3} - 8I_{3}.
Calculo o lado direito:
4I_{3} - 8I_{3} = (4-8)I_{3} = -4I_{3}.
Logo
2A = -4I_{3}.
Agora divido ambos os lados por 2 (isto é, multiplico por \tfrac{1}{2}):
A = -2 I_{3}.
Comentário curto: dividir uma igualdade matricial por um escalar é permitido e significa multiplicar cada entrada por esse escalar; aqui obtemos que A é simplesmente -2 vezes a identidade.

Passo 3

Relembrando a propriedade do determinante que vamos usar (explicação didática):
  • Seja M uma matriz quadrada de ordem n e k um escalar. A propriedade é
\det(kM)=k^{n}\det(M).
O que isso significa: multiplicar uma matriz por um escalar k equivale a multiplicar cada uma das n linhas (ou colunas) por k; multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k, então ao multiplicar todas as n linhas o fator total no determinante é k^{n}.
Aqui as variáveis são:
  • k: o escalar que multiplica a matriz;
  • n: a ordem (dimensão) da matriz quadrada;
  • \det(\cdot): função que associa a cada matriz seu determinante.
Um exemplo rápido e concreto (para fixar):
  • Se B é 2\times2 e B'=3B, então \det(B')=3^{2}\det(B)=9\det(B).

Passo 4

Aplicar a propriedade ao caso A=-2I_{3}:
Aqui k=-2, n=3 e M=I_{3}. Portanto
\det(A)=\det(-2I_{3}) = (-2)^{3}\det(I_{3}).
Agora usar outra propriedade: a matriz identidade I_{3} tem determinante igual a 1, porque é uma matriz diagonal com entradas da diagonal todas iguais a 1, e o determinante de uma matriz diagonal é o produto das entradas da diagonal. Assim
\det(I_{3})=1.

Passo 5

Calcular o valor numérico:
(-2)^{3} = -8,
logo
\det(A) = -8\cdot 1 = -8.

Resposta

\det(A) = -8

Exercícios relacionados