Considere o sistema
\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 4 & 6 \\\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 6 \\\\ 12 \\\\ 2 \end{array}\right)
Explique por que a regra de Cramer não pode ser aplicada diretamente e determine o conjunto solução (se houver).

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 4 & 6\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\\ 12\\\ 2\end{pmatrix}
e pergunta por que a regra de Cramer não vale e qual é o conjunto-solução. O conteúdo aqui é sistemas lineares, determinante e classificação por posto.

Passo 2

Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 4 & 6\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Usando a expansão pela primeira linha:
\det A =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}4&6\\\ 0&1\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&6\\\ 1&1\end{pmatrix} +3\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&4\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Agora
\det\!\begin{pmatrix}4&6\\\ 0&1\end{pmatrix}=4\cdot1-6\cdot0=4,
\det\!\begin{pmatrix}2&6\\\ 1&1\end{pmatrix}=2\cdot1-6\cdot1=-4,
\det\!\begin{pmatrix}2&4\\\ 1&0\end{pmatrix}=2\cdot0-4\cdot1=-4.
Logo
\det A =1\cdot4-2\cdot(-4)+3\cdot(-4) =4+8-12=0.

Passo 3

Como \det A=0, a regra de Cramer não se aplica (ela exige determinante não nulo para garantir solução única). O sistema é singular, então ou não tem solução ou tem infinitas soluções. Para decidir, verificamos se é consistente.

Passo 4

Escrevemos as equações correspondentes:
\begin{cases} x+2y+3z=6,\\\\ 2x+4y+6z=12,\\\ x+0y+z=2. \end{cases}
Note que a segunda equação é exatamente o dobro da primeira, logo não traz nova informação. Restam duas equações independentes em três incógnitas.

Passo 5

Da terceira equação isolemos
x+z=2\quad\Longrightarrow\quad x=2-z.
Substituindo em x+2y+3z=6:
(2-z)+2y+3z=6 \;\Longrightarrow\; 2y+2z+2=6 \;\Longrightarrow\; 2y+2z=4 \;\Longrightarrow\; y+z=2 \;\Longrightarrow\; y=2-z.

Passo 6

Como z é livre, chamemos z=t com t\in\mathbb{R}. Então
x=2-t, \quad y=2-t, \quad z=t.
O conjunto-solução é a reta
\{(x,y,z)=(2-t,\,2-t,\,t)\mid t\in\mathbb{R}\}.

Resposta

A regra de Cramer não vale porque \det A=0. O sistema é consistente e tem infinitas soluções, dadas por
\{(2-t,\;2-t,\;t)\mid t\in\mathbb{R}\}.

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