Resolva o sistema linear 3 x 3 usando Regra de Cramer : \left\{\begin{array}{l}x+2 y+3 z=1 \\\\ 0 x+y+4 z=2 \\\\ 5 x+6 y+0 z=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x+2y+3z=1,\\\ y+4z=2,\\\\ 5x+6y=3 \end{cases}
usando a Regra de Cramer, ou seja, vamos montar a matriz dos coeficientes, calcular seu determinante e depois os determinantes das matrizes obtidas pela troca de cada coluna pelos termos independentes.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 4\\\\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}
e usaremos a Regra de Sarrus para calcular
\Delta = \det(A).
Pelas diagonais de Sarrus:
\Delta = 1\cdot1\cdot0 + 2\cdot4\cdot5 + 3\cdot0\cdot6 \;-\;(3\cdot1\cdot5 + 0\cdot4\cdot1 + 2\cdot0\cdot6)
\Delta = 0 + 40 + 0 - (15 + 0 + 0) = 40 - 15 = 25.
Revisando, note que na subtração de Sarrus há um sinal trocado: o correto é
\Delta = 1\,(1\cdot0-4\cdot6)\;-\;2\,(0\cdot0-4\cdot5)\;+\;3\,(0\cdot6-1\cdot5)
\Delta = 1\cdot(-24) - 2\cdot(-20) + 3\cdot(-5) = -24 + 40 -15 = 1.

Passo 3

Agora substituímos a 1ª coluna de A pelos termos independentes (1,2,3) para obter \Delta_x:
A_x = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 1 & 4\\\\ 3 & 6 & 0 \end{pmatrix},
\Delta_x = \det(A_x) =1\,(1\cdot0 -4\cdot6)\;-\;2\,(2\cdot0 -4\cdot3)\;+\;3\,(2\cdot6 -1\cdot3)
\Delta_x = 1\cdot(-24) -2\cdot(-12) +3\cdot(9) = -24 +24 +27 = 27.

Passo 4

Substituímos a 2ª coluna de A pelos termos independentes para obter \Delta_y:
A_y = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\\\ 0 & 2 & 4\\\\ 5 & 3 & 0 \end{pmatrix},
\Delta_y = \det(A_y) =1\,(2\cdot0 -4\cdot3)\;-\;1\,(0\cdot0 -4\cdot5)\;+\;3\,(0\cdot3 -2\cdot5)
\Delta_y = 1\cdot(-12) -1\cdot(-20) +3\cdot(-10) = -12 +20 -30 = -22.

Passo 5

Substituímos a 3ª coluna de A pelos termos independentes para obter \Delta_z:
A_z = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 5 & 6 & 3 \end{pmatrix},
\Delta_z = \det(A_z) =1\,(1\cdot3 -2\cdot6)\;-\;2\,(0\cdot3 -2\cdot5)\;+\;1\,(0\cdot6 -1\cdot5)
\Delta_z = 1\cdot(-9) -2\cdot(-10) +1\cdot(-5) = -9 +20 -5 = 6.

Passo 6

Pela Regra de Cramer,
x = \frac{\Delta_x}{\Delta},\quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta},\quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta}.
Como \Delta=1, temos
x = 27,\qquad y = -22,\qquad z = 6.

Resposta

x=27, y=-22, z=6.

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