Considere o sistema A X=B, com
A=\left[\begin{array}{rrc} 1 & 2 & -3 \\\\ 3 & -1 & 5 \\\\ 4 & 1 & a^{2}-16 \end{array}\right] \text { e } B=\left[\begin{array}{c} 4 \\\\ 2 \\\ a+14 \end{array}\right]
a) Determine o valor (ou valores) de a para que o sistema tenha solução única.
b) Existem valores para a de forma que o sistema tenha infinitas soluções?
c) Existem valores para a de forma que o sistema não tenha solução?

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear A X = B com
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\\\ 3 & -1 & 5\\\\ 4 & 1 & a^{2}-16 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 4\\\\ 2\\\ a+14 \end{pmatrix}.
Queremos (a) os valores de a para solução única, (b) se há infinitas soluções e (c) se há ausência de solução. Para isso usamos o determinante para o caso único e o estudo de posto (ranks) para os casos singulares.

Passo 2

Calcular \det(A). Usando expansão pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 5\\\ 1 & a^2-16\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 5\\\ 4 & a^2-16\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -1\\\ 4 & 1\end{pmatrix}.
Cada menor é
\det\begin{pmatrix}-1 & 5\\\ 1 & a^2-16\end{pmatrix} =-1\,(a^2-16)-5\cdot1=-a^2+16-5=-a^2+11,
\det\begin{pmatrix}3 & 5\\\ 4 & a^2-16\end{pmatrix} =3\,(a^2-16)-5\cdot4=3a^2-48-20=3a^2-68,
\det\begin{pmatrix}3 & -1\\\ 4 & 1\end{pmatrix} =3\cdot1-(-1)\cdot4=3+4=7.
Logo
\det(A) =(-a^2+11)-2\,(3a^2-68)-3\cdot7 =-a^2+11-6a^2+136-21 =-7a^2+126 =-7\,(a^2-18).

Passo 3

Condição para solução única é \det(A)\neq0. Logo
-7\,(a^2-18)\neq0 \quad\Longrightarrow\quad a^2-18\neq0 \quad\Longrightarrow\quad a\neq\pm3\sqrt2.

Passo 4

Para a=\pm3\sqrt2\) temos \(\det(A)=0\) e, portanto, posto de \(A\) é no máximo 2. Para ver se há infinitas soluções ou nenhuma, escrevemos a terceira linha de \(A\) quando \(a^2=18\): \[\text{linha}_3(A)=(4,\;1,\;18-16)=(4,1,2).
Tentamos ver se ela é combinação linear das duas primeiras linhas: buscamos \alpha,\beta tais que
\alpha(1,2,-3)+\beta(3,-1,5)=(4,1,2).
Isso dá o sistema
\begin{cases} \alpha+3\beta=4,\\\\ 2\alpha-\beta=1,\\\\ -3\alpha+5\beta=2. \end{cases}
Resolvendo as duas primeiras equações: de \alpha+3\beta=4\] vem \(\alpha=4-3\beta. Substituindo em 2\alpha-\beta=1
2(4-3\beta)-\beta=1 \quad\Longrightarrow\quad 8-6\beta-\beta=1 \quad\Longrightarrow\quad 7\beta=7 \quad\Longrightarrow\quad \beta=1,\;\alpha=1.
E a terceira equação também confere: -3\cdot1+5\cdot1=2. Portanto
\text{linha}_3(A)=1\cdot\text{linha}_1(A)+1\cdot\text{linha}_2(A).
Para consistência, deve valer o mesmo em B:
B_3\overset{?}{=}B_1+B_2 \quad\Longrightarrow\quad a+14\stackrel{?}{=}4+2=6 \quad\Longrightarrow\quad a+14=6 \quad\Longrightarrow\quad a=-8,
que não coincide com a=\pm3\sqrt2. Portanto, para a=\pm3\sqrt2 o sistema é inconsistente (nenhuma solução).

Passo 5

Como não há caso em que a terceira linha de B obedeça à combinação das duas primeiras sem violar a^2=18, concluímos que não existe valor de a que provoque infinitas soluções.

Resposta

a) O sistema tem solução única se, e somente se,
a\neq\pm3\sqrt2.
b) Não existe valor de a que gere infinitas soluções.
c) O sistema não tem solução para
a=\pm3\sqrt2.

Exercícios relacionados