Sabendo que o sistema \left\{\begin{aligned} x+y+z & =1 \\\ m x+2 y+3 z & =0 \\\ m^{2} x+4 y+9 z & =1\end{aligned}\right. admite uma única solução, podemos concluir que m pode assumir todos os valores do intervalo real:
a) [0,1]
b) [1,2]
c) [3,4)
d) [0,4].

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear 3\times3 com parâmetro m e pergunta para quais valores de m o sistema admite única solução. Isso ocorre exatamente quando a matriz de coeficientes é invertível, ou seja, quando seu determinante é diferente de zero.

Passo 2

Vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes:
\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\[6pt] m & 2 & 3 \\[6pt] m^{2} & 4 & 9 \end{vmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
\Delta =1\cdot(2\cdot9-3\cdot4) -1\cdot(m\cdot9-3m^{2}) +1\cdot(m\cdot4-2m^{2}) =6 - (9m-3m^{2}) + (4m-2m^{2}) =m^{2}-5m+6.
Fatorando,
\Delta = (m-2)(m-3),
logo \Delta\neq0 se, e somente se, m\neq2 e m\neq3.]

Passo 3

Das opções de intervalos dadas, só nos interessa aquele que não contenha 2 nem 3:
  • [0,1] não contém 2 nem 3, então \Delta\neq0 em todo o intervalo.
  • [1,2] inclui 2, onde \Delta=0.
  • [3,4) inclui 3, onde \Delta=0.
  • [0,4] inclui tanto 2 quanto 3, onde \Delta=0.
Portanto, o único intervalo que garante determinante sempre não nulo é [0,1].

Resposta

a) [0,1]

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