Considere o sistema linear lx-3 y+2 z=-2 -2 x+8 y-z=6 3 x-12 y+5 z=7. Faça o que se pede:
a) escreva-o na forma A X=B e deduza que X=A^-1 cdot B;
b) encontre a inversa da matriz A;
c) utilizando a inversa de A, isto é A^-1, encontre X=A^-1 cdot B.

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema
x - 3y + 2z = -2, -2x + 8y - z = 6, 3x - 12y + 5z = 7
usando a forma matricial A X = B, calculando a inversa de A e obtendo X = A^-1B. Vamos usar conceitos de determinante, cofatores e adjunta para encontrar A^-1 e depois multiplicá-la por B.

Passo 2

Escrevendo o sistema em forma matricial, temos
Como é invertível (determinante não nulo), deduzimos

Passo 3

Calculamos o determinante de A por desenvolvimento na primeira linha:
det(A) =1cdot8 & -1-12 & 5 -(-3)cdot-2 & -13 & 5 +2cdot-2 & 83 & -12 =1,(40-12)+3,(-10+3)+2,(24-24) =28-21+0=7
Logo det(A)=7neq0, então A é invertível.

Passo 4

Para obter A^-1 usamos A^-1 = tfrac1det(A),adj(A). Os cofatores de A formam a matriz
l(Cijr) = 28 & 7 & 0 -9 & -1 & 3 -13 & -3 & 2 ,
de modo que a adjunta é a transposta dessa matriz de cofatores:
adj(A) = 28 & -9 & -13 7 & -1 & -3 0 & 3 & 2
Portanto
A^-1 =17 28 & -9 & -13 7 & -1 & -3 0 & 3 & 2 = 4 & -tfrac97 & -tfrac137 1 & -tfrac17 & -tfrac37 0 & tfrac37 & tfrac27

Passo 5

Finalmente calculamos
X = A^-1B =17 28 & -9 & -13 7 & -1 & -3 0 & 3 & 2 -267 =17 -201 -41 32 = -tfrac2017 -tfrac417 tfrac327

Resposta

a) com
e segue que .
b)
c)

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