Determinar a inversa das seguintes matrizes:
A=[cccos theta & sin theta -sin theta & cos theta]

Passo 1

Resumindo, precisamos encontrar A^-1 para a matriz
A = costheta & sintheta -sintheta & costheta
O conteúdo aqui é inversão de matriz 2times2; podemos usar a fórmula geral ou notar que A é ortogonal.

Passo 2

Vamos calcular o determinante de A usando a identidade trigonométrica cos^2theta+sin^2theta=1:
det(A)=costhetacdotcostheta - (sintheta)(-sintheta) =cos^2theta+sin^2theta=1
Como det(A)=1neq0, a matriz é inversível.

Passo 3

Pela fórmula de inversa de
,
substituindo , , , e , obtemos

Passo 4

Como as colunas de A formam uma base ortonormal, A é uma matriz ortogonal e vale também
A^-1=A^T,
que coincide com o resultado anterior.

Resposta

A^-1 = costheta & -sintheta sintheta & costheta

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