i) Resolva o sistema S, ou seja, encontre o conjunto de matrizes-solução do sistema. ii) Resolva também o sistema homogêneo associado.
iii) Determine uma solução qualquer do sistema S.
iv) Verifina i) é a soma de uma matriz-solução encontrada em ii) com a solução particular que você escolheu no item iii).
b) Generalize o item a), ou seja, mostre que X é solução um sistema linear A X=B se, e somente se X é a particular de A X=B.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear S com matriz aumentada (coeficientes e termos independentes):
As perguntas são:
i) encontrar o conjunto de soluções de S (todas as soluções);
ii) resolver o sistema homogêneo associado (ou seja, soluções de A X=0);
iii) dar uma solução particular qualquer de S;
iv) verificar que a solução geral encontrada em (i) é a soma de uma solução do homogêneo (ii) com a solução particular escolhida em (iii).
Depois (item b) pede uma generalização: provar a propriedade geral que relaciona soluções de A X=B e do homogêneo.]
Passo 2
Vou resolver S por eliminação de Gauss (regra: usar operações elementares sobre linhas — trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra — que preservam o conjunto de soluções). Primeiro escrevo a matriz aumentada com as 4 equações em forma compacta:
Agora uso a nova R_2 como pivô para a segunda coluna:
Observação: R_4 e R_2 têm a mesma entrada na coluna 2 (-2), então R_4 \leftarrow R_4 - R_2 vai simplificar:R_4 = (0,-2,4,0\mid2) - (0,-2,2,0\mid0) = (0,0,2,0\mid2).
Note que R_3 e R_4 são agora iguais; subtrair uma da outra produzirá uma linha nula. Isso indica que o posto da matriz é menor que 4 (esperamos grau de liberdade > 0).]
Passo 5
Vamos escalar e simplificar as linhas principais para obter pivôs iguais a 1:
R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{2}R_2 dá R_2 = (0,1,-1,0\mid0).
R_3 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_3 dá R_3 = (0,0,1,0\mid1).
Aplicando isso obtemos
Interpreto a matriz reduzida em equações para as variáveis x,y,z,t:
Da primeira linha: x - t = 0, então x = t.
Da segunda linha: y = 1.
Da terceira linha: z = 1.
A quarta linha não impõe restrição (0 = 0). Portanto há uma variável livre: t. Denoto o parâmetro livre por \lambda\in\mathbb{R} e ponho t=\lambda.
Isso responde o item (i): o conjunto solução é \{\,\lambda(1,0,0,1)^T + (0,1,1,0)^T \mid \lambda\in\mathbb{R}\,\}.]
Passo 9
Agora o sistema homogêneo associado (ii) é A X = 0. A eliminação produz a mesma forma reduzida, só que com termos independentes iguais a zero. Repetindo a leitura:
x - t = 0 \Rightarrow x = t,
y = 0,
z = 0,
com t livre. Assim as soluções do homogêneo são
(Isto é simplesmente a parte constante mostrada na decomposição do Passo 8.)]
Passo 11
Verificação pedida em (iv): a solução geral encontrada no Passo 8 pode ser escrita como soma de uma solução particular X_p e um vetor da solução homogênea X_h:
Como \lambda descreve todos os escalares, isto mostra que a solução geral é exatamente X_p + \ker(A). Assim (iv) está verificado: qualquer solução de S é a soma de X_p (particular escolhida) com um vetor solução do homogêneo.]
Passo 12
Item (b) — generalização e prova teórica (forma didática e curta):
Seja A uma matriz m\times n, B\in\mathbb{R}^m. Suponha X_p é uma solução particular de A X=B, ou seja A X_p = B. Seja X um vetor qualquer. Então
X é solução de A X = B se, e somente se, A(X - X_p) = 0. Isto ocorre porque por linearidade da multiplicação matricialA(X - X_p) = AX - AX_p = AX - B.Portanto AX=B se, e somente se, A(X - X_p)=0; isto significa X - X_p\in\ker(A).
Reescrevendo, X = X_p + X_h com X_h\in\ker(A). Assim o conjunto de todas as soluções de A X=B é exatamenteX_p + \ker(A) = \{\, X_p + X_h \mid X_h\in\ker(A)\,\}.
A implicação recíproca também é clara: se X_h\in\ker(A) então A(X_p+X_h)=AX_p + AX_h = B + 0 = B, logo X_p+X_h é solução. Isso prova a equivalência desejada.
iii) Uma solução particular: \displaystyle X_p=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
iv) A solução geral é X_p+\ker(A); explicitamente,
\displaystyle \lambda\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}
que coincide com a expressão em (i), portanto verificado.
b) Em geral: X é solução de A X=B se, e somente se, X = X_p + X_h para alguma solução particular X_p de A X=B e algum X_h\in\ker(A).])