Seja
A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 3 & 5 \\\\ 1 & -2 & 1 & 1 \end{array}\right)
Determine uma matriz R na forma escalonada que seja equivalente a A e uma matriz inversível P tal que R=P A.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 3 & 5 \\\\ 1 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O que é pedido:
  • Encontrar uma matriz R em forma escalonada que seja equivalente a A (ou seja, obtida por operações elementares de linha em A).
  • Encontrar uma matriz inversível P tal que R = P A.
Informações relevantes dadas:
  • A é 3\times4.
  • Precisa-se aplicar operações de linha (que correspondem a multiplicar à esquerda por matrizes elementares) até obter a forma escalonada.

Passo 2

Conceito-chave: operações elementares de linha e matrizes elementares.
  • Cada operação do tipo “trocar linhas”, “multiplicar uma linha por escalar não nulo” ou “adicionar a uma linha um múltiplo de outra” corresponde a multiplicar A pela esquerda por uma matriz elementar E.
  • Se aplicarmos as operações E_1, depois E_2, depois E_3 a A, o resultado é (E_3 E_2 E_1)A. Logo a matriz P que procuramos será o produto das matrizes elementares que usamos, na ordem em que as aplicamos.
Exemplo simples (para lembrar): adicionar a linha 1 à linha 2 numa matriz 3\times n corresponde à matriz elementar
E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
pois E tem a segunda linha igual a \text{(linha 2)}+\text{(linha 1)} e as outras iguais às linhas da identidade.
Agora vamos aplicar operações a A passo a passo, explicando cada operação e a matriz elementar correspondente.

Passo 3

Primeiro objetivo: zerar as entradas abaixo do pivô da coluna 1.
A já tem a_{11}=1, bom pivô. Vamos:
  1. R_2 \leftarrow R_2 + R_1. Isso soma a linha 1 à linha 2.
  2. R_3 \leftarrow R_3 - R_1. Isso subtrai a linha 1 da linha 3.
Essas duas operações podem ser feitas em sequência. As matrizes elementares correspondentes são
E_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{(faz }R_2\leftarrow R_2+R_1\text{)},
E_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{(faz }R_3\leftarrow R_3-R_1\text{)}.
Aplicando E_1 e depois E_2:
A^{(1)}=E_1 A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 3 & 5 \\\\ 1 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 4 & 5 \\\\ 1 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Agora aplicando E_2 sobre A^{(1)}:
A^{(2)}=E_2 A^{(1)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 4 & 5 \\\\ 1 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 4 & 5 \\\\ 0 & -4 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Explicando as contas: por exemplo, a nova terceira linha é (-1)\times linha 1 de A^{(1)} mais 1\times linha 3 de A^{(1)}, o que dá (1-1, -2-2, 1-1, 1-0)=(0,-4,0,1).]

Passo 4

Próximo objetivo: zerar a entrada abaixo do pivô da coluna 2 (na linha 3).
No estágio atual A^{(2)} temos a segunda linha com pivô 2 (entrada (2,2)=2). Para eliminar o -4 em (3,2) fazemos
R_3 \leftarrow R_3 + 2 R_2.
Isto adiciona duas vezes a linha 2 à linha 3. A matriz elementar correspondente é
E_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{(faz }R_3\leftarrow R_3+2R_2\text{)}.
Aplicando E_3 a A^{(2)}:
A^{(3)}=E_3 A^{(2)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 4 & 5 \\\\ 0 & -4 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 4 & 5 \\\\ 0 & 0 & 8 & 11 \end{pmatrix}.
Detalhe das contas da terceira linha: 0 + 2\cdot 2 + 0 = 0 (coluna 1), -4 + 2\cdot 2 = 0 (coluna 2), 0 + 2\cdot 4 = 8 (coluna 3), 1 + 2\cdot 5 = 11 (coluna 4).
A matriz A^{(3)} é uma forma escalonada (cada linha pivô aparece à direita do pivô da linha anterior, com zeros abaixo), então podemos tomar
R = A^{(3)} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 4 & 5 \\\\ 0 & 0 & 8 & 11 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora vamos construir a matriz P que realiza todas essas operações de uma só vez: como explicado, cada operação tem sua matriz elementar; se aplicamos E_1, depois E_2, depois E_3, então
R = E_3 E_2 E_1 A.
Portanto podemos definir
P = E_3 E_2 E_1.
Já escrevemos
E_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad E_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad E_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Vamos multiplicá-las em ordem: primeiro E_2E_1, depois E_3(E_2E_1).
Calcule E_2E_1:
E_2E_1= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora P=E_3(E_2E_1):
P= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida (importante para prova): multiplicando P por A obtém-se exatamente R:
P A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 3 & 5 \\\\ 1 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 4 & 5 \\\\ 0 & 0 & 8 & 11 \end{pmatrix}=R.
Comentário sobre inversibilidade: cada E_i é inversível (matrizes elementares são sempre inversíveis) e produto de invertíveis é invertível, portanto P é inversível.]

Resposta

R=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 4 & 5 \\\\ 0 & 0 & 8 & 11 \end{pmatrix}
P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}]

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