Encontrar uma matriz R em forma escalonada que seja equivalente a A (ou seja, obtida por operações elementares de linha em A).
Encontrar uma matriz inversível P tal que R = P A.
Informações relevantes dadas:
A é 3\times4.
Precisa-se aplicar operações de linha (que correspondem a multiplicar à esquerda por matrizes elementares) até obter a forma escalonada.
Passo 2
Conceito-chave: operações elementares de linha e matrizes elementares.
Cada operação do tipo “trocar linhas”, “multiplicar uma linha por escalar não nulo” ou “adicionar a uma linha um múltiplo de outra” corresponde a multiplicar A pela esquerda por uma matriz elementar E.
Se aplicarmos as operações E_1, depois E_2, depois E_3 a A, o resultado é (E_3 E_2 E_1)A. Logo a matriz P que procuramos será o produto das matrizes elementares que usamos, na ordem em que as aplicamos.
Exemplo simples (para lembrar): adicionar a linha 1 à linha 2 numa matriz 3\times n corresponde à matriz elementar
Explicando as contas: por exemplo, a nova terceira linha é (-1)\times linha 1 de A^{(1)} mais 1\times linha 3 de A^{(1)}, o que dá (1-1, -2-2, 1-1, 1-0)=(0,-4,0,1).]
Passo 4
Próximo objetivo: zerar a entrada abaixo do pivô da coluna 2 (na linha 3).
No estágio atual A^{(2)} temos a segunda linha com pivô 2 (entrada (2,2)=2). Para eliminar o -4 em (3,2) fazemos
R_3 \leftarrow R_3 + 2 R_2.
Isto adiciona duas vezes a linha 2 à linha 3. A matriz elementar correspondente é
Agora vamos construir a matriz P que realiza todas essas operações de uma só vez: como explicado, cada operação tem sua matriz elementar; se aplicamos E_1, depois E_2, depois E_3, então
Comentário sobre inversibilidade: cada E_i é inversível (matrizes elementares são sempre inversíveis) e produto de invertíveis é invertível, portanto P é inversível.]