A=\left(\begin{array}{rrr}
2 & 0 & i \\\\ 1 & -3 & -i \\\ i & 1 & 1
\end{array}\right)
Determine uma matriz R na forma escalonada que seja equivalente a A e uma matriz inversível P tal que R=P A.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 0 & i \\\\ 1 & -3 & -i \\\ i & 1 & 1 \end{array}\right)
e pede duas coisas:
encontrar uma matriz R na forma escalonada que seja equivalente a A;
encontrar uma matriz inversível P tal que R = P A.
Vou transformar A por operações elementares de linha para obter uma forma escalonada R e, ao mesmo tempo, escrever as matrizes elementares que realizam cada operação. O produto dessas matrizes elementares dará P.
Passo 2
Lembrete rápido e como vamos proceder (aula curta e prática):
Uma operação elementar de linha do tipo "substituir a linha i por \text{linha }i + k\cdot\text{linha }j" é equivalente a multiplicar A à esquerda por uma matriz elementar E obtida a partir da identidade trocando o elemento (i,j) por k.
Se realizarmos várias operações E_r,\dots,E_2,E_1 em sequência, o resultado é
R = E_r\cdots E_2 E_1 A,
ou seja, a matriz P que queremos é P = E_r\cdots E_2 E_1.
Vou fazer eliminação de Gauss (zerar abaixo dos pivôs) e registrar cada operação elementar com a sua matriz.
Passo 3
Começamos com A. Primeiro pivô natural é o elemento \,2 em posição (1,1).
Queremos zerar as entradas abaixo desse pivô (posições (2,1) e (3,1)).
\text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 + \tfrac{1}{3}\text{L}_2. (Esta foi aplicada após as duas anteriores, então usa a \text{L}_2 já modificada.) A matriz elementar é
Terceira linha = \tfrac{1}{3} vezes a segunda linha de E_2E_1 mais a terceira linha de E_2E_1:\text{terceira linha}= \tfrac{1}{3}\bigl(-\tfrac{1}{2},1,0\bigr)+\bigl(-\tfrac{i}{2},0,1\bigr) =\bigl(-\tfrac{1}{6}-\tfrac{i}{2},\;\tfrac{1}{3},\;1\bigr).
Escrevendo -\tfrac{1}{6}-\tfrac{i}{2} com denom. comum 6:
Verificação curta (opcional-educativa): multiplicando P por A recupera-se R. Faça-se a conta linha-a-linha:
Primeira linha de P A é a primeira linha de A = (2,0,i).
Segunda linha é -\tfrac{1}{2} vezes a primeira linha de A mais a segunda linha de A, que dá (0,-3,-\tfrac{3i}{2}).
Terceira linha, combinação das três linhas de A com coeficientes da terceira linha de P, dá (0,0,\tfrac{3-i}{2}).
Assim PA=R, conforme esperado (os cálculos completos foram feitos nos passos anteriores).