Faça o mesmo da letra a) com
A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 0 & i \\\\ 1 & -3 & -i \\\ i & 1 & 1 \end{array}\right)
Determine uma matriz R na forma escalonada que seja equivalente a A e uma matriz inversível P tal que R=P A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 0 & i \\\\ 1 & -3 & -i \\\ i & 1 & 1 \end{array}\right)
e pede duas coisas:
  • encontrar uma matriz R na forma escalonada que seja equivalente a A;
  • encontrar uma matriz inversível P tal que R = P A.
Vou transformar A por operações elementares de linha para obter uma forma escalonada R e, ao mesmo tempo, escrever as matrizes elementares que realizam cada operação. O produto dessas matrizes elementares dará P.

Passo 2

Lembrete rápido e como vamos proceder (aula curta e prática):
  • Uma operação elementar de linha do tipo "substituir a linha i por \text{linha }i + k\cdot\text{linha }j" é equivalente a multiplicar A à esquerda por uma matriz elementar E obtida a partir da identidade trocando o elemento (i,j) por k.
  • Se realizarmos várias operações E_r,\dots,E_2,E_1 em sequência, o resultado é
R = E_r\cdots E_2 E_1 A,
ou seja, a matriz P que queremos é P = E_r\cdots E_2 E_1.
  • Vou fazer eliminação de Gauss (zerar abaixo dos pivôs) e registrar cada operação elementar com a sua matriz.

Passo 3

Começamos com A. Primeiro pivô natural é o elemento \,2 em posição (1,1).
Queremos zerar as entradas abaixo desse pivô (posições (2,1) e (3,1)).
Cálculos das multiplicidades:
m_{21}=\frac{1}{2},\qquad m_{31}=\frac{i}{2}.
Operações (na forma usual de linhas):
  • \text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - \dfrac{1}{2}\text{L}_1,
  • \text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 - \dfrac{i}{2}\text{L}_1.
Agora calculo as novas linhas explicitamente (cada passo bem mastigado):
Para \text{L}_2:
\text{L}_2 - \tfrac{1}{2}\text{L}_1 = (1,-3,-i) - \tfrac{1}{2}(2,0,i) = (1-1,\,-3-0,\,-i-\tfrac{i}{2}) = (0,-3,-\tfrac{3i}{2}).
Para \text{L}_3:
\text{L}_3 - \tfrac{i}{2}\text{L}_1 = (i,1,1) - \tfrac{i}{2}(2,0,i) = (i-i,\;1-0,\;1-\tfrac{i\cdot i}{2}) = (0,1,\;1-\tfrac{i^2}{2}).
Como i^2=-1, obtemos
1-\tfrac{i^2}{2}=1-\tfrac{-1}{2}=1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Logo a nova \text{L}_3 é (0,1,\tfrac{3}{2}).
Após essas duas operações a matriz fica
\left(\begin{array}{rrr} 2 & 0 & i \\\\ 0 & -3 & -\tfrac{3i}{2} \\\\ 0 & 1 & \tfrac{3}{2} \end{array}\right).

Passo 4

Agora o pivô na segunda coluna (segunda linha) é -3 em posição (2,2). Queremos zerar a entrada em (3,2) que é 1.
O multiplicador é
m_{32}=\frac{1}{-3}=-\tfrac{1}{3}.
Operação:
\text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 - m_{32}\text{L}_2 = \text{L}_3 - (-\tfrac{1}{3})\text{L}_2 = \text{L}_3 + \tfrac{1}{3}\text{L}_2.
Calculemos:
\tfrac{1}{3}\text{L}_2=\tfrac{1}{3}\bigl(0,-3,-\tfrac{3i}{2}\bigr)=\bigl(0,-1,-\tfrac{i}{2}\bigr),
\text{L}_3+\tfrac{1}{3}\text{L}_2=\bigl(0,1,\tfrac{3}{2}\bigr)+\bigl(0,-1,-\tfrac{i}{2}\bigr)=\bigl(0,0,\tfrac{3}{2}-\tfrac{i}{2}\bigr).
Escrevendo com denominador comum:
\tfrac{3}{2}-\tfrac{i}{2}=\tfrac{3-i}{2}.
Assim obtemos a forma escalonada (triangular superior)
R=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 0 & i \\\\ 0 & -3 & -\tfrac{3i}{2} \\\\ 0 & 0 & \tfrac{3-i}{2} \end{array}\right).
Essa é uma matriz escalonada (os pivôs são 2, -3, \tfrac{3-i}{2}, todos não nulos).

Passo 5

Agora construímos as matrizes elementares correspondentes às operações feitas, e multiplicando-as obtemos P.
Operações efetuadas e suas matrizes elementares:
  1. \text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - \tfrac{1}{2}\text{L}_1. A matriz elementar correspondente é
E_1=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Justificativa: E_1 é a identidade com -\tfrac{1}{2} na posição (2,1), e E_1 A faz exatamente a operação acima.
  1. \text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 - \tfrac{i}{2}\text{L}_1. A matriz elementar é
E_2=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -\tfrac{i}{2} & 0 & 1 \end{array}\right).
  1. \text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 + \tfrac{1}{3}\text{L}_2. (Esta foi aplicada após as duas anteriores, então usa a \text{L}_2 já modificada.) A matriz elementar é
E_3=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3} & 1 \end{array}\right).
Cada E_j é invertível (são matrizes elementares). O produto dessas matrizes, aplicado a A, dá R:
R = E_3 E_2 E_1 A.
Portanto podemos escolher
P = E_3 E_2 E_1.]

Passo 6

Calculemos explicitamente P. Primeiro E_2E_1:
Multiplicando E_2 por E_1 (passo a passo):
E_2E_1=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -\tfrac{i}{2} & 0 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt] -\tfrac{i}{2} & 0 & 1 \end{array}\right).
Agora P=E_3(E_2E_1):
P=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3} & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt] -\tfrac{i}{2} & 0 & 1 \end{array}\right).
Multiplicando linhas por colunas:
  • Primeira linha de P é (1,0,0).
  • Segunda linha é (-\tfrac{1}{2},1,0).
  • Terceira linha = \tfrac{1}{3} vezes a segunda linha de E_2E_1 mais a terceira linha de E_2E_1: \text{terceira linha}= \tfrac{1}{3}\bigl(-\tfrac{1}{2},1,0\bigr)+\bigl(-\tfrac{i}{2},0,1\bigr) =\bigl(-\tfrac{1}{6}-\tfrac{i}{2},\;\tfrac{1}{3},\;1\bigr).
Escrevendo -\tfrac{1}{6}-\tfrac{i}{2} com denom. comum 6:
-\tfrac{1}{6}-\tfrac{i}{2}=-\tfrac{1+3i}{6}.
Portanto obtemos
P=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt] -\tfrac{1+3i}{6} & \tfrac{1}{3} & 1 \end{array}\right).]

Passo 7

Verificação curta (opcional-educativa): multiplicando P por A recupera-se R. Faça-se a conta linha-a-linha:
  • Primeira linha de P A é a primeira linha de A = (2,0,i).
  • Segunda linha é -\tfrac{1}{2} vezes a primeira linha de A mais a segunda linha de A, que dá (0,-3,-\tfrac{3i}{2}).
  • Terceira linha, combinação das três linhas de A com coeficientes da terceira linha de P, dá (0,0,\tfrac{3-i}{2}).
    Assim PA=R, conforme esperado (os cálculos completos foram feitos nos passos anteriores).

Resposta

R=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 0 & i \\\\ 0 & -3 & -\tfrac{3i}{2} \\\\ 0 & 0 & \tfrac{3-i}{2} \end{array}\right)
P=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt] -\tfrac{1+3i}{6} & \tfrac{1}{3} & 1 \end{array}\right)]

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