Considere o sistema linear invariante no tempo cuja resposta ao impulso é
h(t)=t e^-2 t u(t)
Determine a saída y(t) em regime permanente do sistema, sendo a entrada x(t)=(1+2 cos (t)+ 3 cos (2 t)) u(t).

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sistema LTI (linear e invariável no tempo) com resposta ao impulso
h(t)=t,e^-2t,u(t)
e a entrada
x(t)=(1+2cos t+3cos2t),u(t),
O que a questão pede é a saída em regime permanente, ou seja, depois que o “transiente” morre e só fica a resposta aos termos DC e aos senos/cossenos que sobem.
Conteúdo: transformada de Fourier (ou resposta em frequência) e propriedade de que, para cada cosseno, a saída é um cosseno com amplitude escalada por e fase deslocada por .

Passo 2

Primeiro a gente acha a resposta em frequência
H(jomega)=Fh(t) =integral0^inftyt,e^-2t,e^-jomega t,dt
Lembra que H(jomega)=1(2+jomega)^2, se . Aqui , logo

Passo 3

Agora olhamos pro termo DC (freqüência zero).
  • Entrada DC = 1.
  • yrm DC(t)=1;times;14=14, .
    Então a parte DC da saída é

Passo 4

Parte do H(j1)=1(2+j1)^2, (freqüência H(j1)=13+4j=3-4j(3)^2+(4)^2=3-4j25, ):
  • Amplitude de entrada = 2.
  • Avaliamos y1(t) =2;15;cosl(t +arg H(j1)r) =25cos!l(t -arctan43r) Note que , então
  • A magnitude é e a fase .
  • Logo a saída desse termo em regime permanente é

Passo 5

Parte do H(j2)=1(2+j2)^2 (freqüência H(j2)=18j=-j8, ):
  • Amplitude de entrada = 3.
  • y2(t) =3;18;cosl(2t +arg H(j2)r) =38cos!l(2t -pi2r) Aqui , logo
  • A magnitude é e a fase .
  • Então

Resposta

Juntando tudo, a saída em regime permanente é
boxed y(t) =14 ;+; 25cos!l(t -arctan43r) ;+; 38cos!l(2t -pi2r) ,

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