Considere o sistema linear invariante no tempo cuja resposta ao impulso é
Determine a saída
em regime permanente do sistema, sendo a entrada
.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um sistema LTI (linear e invariável no tempo) com resposta ao impulso
e a entrada
O que a questão pede é a saída em regime permanente, ou seja, depois que o “transiente” morre e só fica a resposta aos termos DC e aos senos/cossenos que sobem.
Conteúdo: transformada de Fourier (ou resposta em frequência) e propriedade de que, para cada cosseno, a saída é um cosseno com amplitude escalada por e fase deslocada por
.
Conteúdo: transformada de Fourier (ou resposta em frequência) e propriedade de que, para cada cosseno, a saída é um cosseno com amplitude escalada por
Passo 2
Primeiro a gente acha a resposta em frequência
Lembra que
se
. Aqui
, logo
Passo 3
Agora olhamos pro termo DC (freqüência zero).
- Entrada DC = 1.
-
.
Então a parte DC da saída é
Passo 4
Parte do
(freqüência
):
- Amplitude de entrada = 2.
- Avaliamos
Note que , então - A magnitude é
e a fase . - Logo a saída desse termo em regime permanente é
Passo 5
Parte do
(freqüência
):
- Amplitude de entrada = 3.
-
Aqui , logo - A magnitude é
e a fase . - Então
Resposta
Juntando tudo, a saída em regime permanente é