Determine
solução das equações:
d)
d)
Passo 1
Beleza, a gente tem uma equação de diferenças de segunda ordem com termo forçado:
e condições iniciais
,
.
Conteúdo: equações de diferenças lineares com coeficientes constantes.
O que vamos precisar:
Conteúdo: equações de diferenças lineares com coeficientes constantes.
O que vamos precisar:
- Encontrar a solução homogênea (resolvendo a característica).
- Achar uma solução particular pro termo
. - Ajustar as constantes usando
e .
Passo 2
Resolvendo a parte homogênea
:
Escrevemos a equação associada sem o lado direito:
Escrevemos a equação associada sem o lado direito:
Assumimos
. Aí a característica é
ou seja, raiz dupla
.
Para raiz dupla, a solução geral é
Para raiz dupla, a solução geral é
Passo 3
Agora a solução particular
do forçamento
.
Como já é raiz de multiplicidade 2, a gente multiplica o “chute” por
. Então supomos
Como
Substituindo na equação original e fatorando
, dá pra mostrar (fazendo
e
) que o coeficiente resultante vira constante
. Pra ele valer
, temos
Logo
Passo 4
Solução geral é
Agora usamos
e
:
- Para
: , logo . - Para
: Então => => .