Determine y[n] solução das equações:
d) y[n+2]+4 y[n+1]+4 y[n]=400(-2)^n u[n], y[0]=100, y[1]=-100

Passo 1

Beleza, a gente tem uma equação de diferenças de segunda ordem com termo forçado:
y[n+2] + 4,y[n+1] + 4,y[n] = 400,(-2)^n,u[n],
e condições iniciais , .
Conteúdo: equações de diferenças lineares com coeficientes constantes.
O que vamos precisar:
  1. Encontrar a solução homogênea (resolvendo a característica).
  2. Achar uma solução particular pro termo .
  3. Ajustar as constantes usando e .

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea ;yh[n+2]+4,yh[n+1]+4,yh[n]=0:
Escrevemos a equação associada sem o lado direito:
r^2+4r+4=0 ;Longrightarrow;(r+2)^2=0,
Assumimos yh[n] ;=;l(C1 + C2,nr),(-2)^n . Aí a característica é
ou seja, raiz dupla .
Para raiz dupla, a solução geral é

Passo 3

Agora a solução particular yp[n] = A,n^2,(-2)^n do forçamento 8A = 400 Longrightarrow A = 50 .
Como yp[n] = 50,n^2,(-2)^n já é raiz de multiplicidade 2, a gente multiplica o “chute” por . Então supomos
Substituindo na equação original e fatorando , dá pra mostrar (fazendo e ) que o coeficiente resultante vira constante . Pra ele valer , temos
Logo

Passo 4

Solução geral é
y[n] = yh[n] + yp[n] = l(C1 + C2,nr)(-2)^n + 50,n^2,(-2)^n = l(C1 + C2,n + 50,n^2r)(-2)^n
Agora usamos y[1] = l(100 + C2cdot1 + 50cdot1^2r)(-2)^1 = (150 + C2),(-2) = -2(150+C2) overset!= -100 e :
  • Para : , logo .
  • Para : Então => => .

Resposta

boxedy[n] = l(100 - 100,n + 50,n^2r),(-2)^n, n>=0

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