Para as transformadas unilaterais de Laplace a seguir determine, quando possível, x(0^+) e x(infty) :
b) X(s)=2 s^2+3s^2+5 s+1

Passo 1

Beleza, a questão diz: “Para a transformada unilateral de Laplace
X(s)=2s^2+3s^2+5s+1
determine e .”
Isso é tópico de Transformada de Laplace, e pra achar esses valores a gente vai usar os Teoremas do Valor Inicial e do Valor Final. Também precisamos checar se dá pra usar o Valor Final (ou seja, se os polos têm parte real negativa).

Passo 2

Teorema do Valor Inicial diz
x(0^+) ;=;limstoinftys,X(s)
Então calcula:
s,X(s) =;s;2s^2+3s^2+5s+1 =2s^3+3ss^2+5s+1
Pra ver o limite quando 2s+3/s1+5/s+1/s^2;xrightarrow[stoinfty];2s+01+0+0 =2s;to;infty , divido numerador e denominador por :
Ou seja, diverge (não existe valor finito).

Passo 3

Antes de usar o Valor Final, confere se o sistema é estável: os polos vêm de
s^2+5s+1=0 Rightarrow s=-5pmraiz25-42 =-5pmraiz212 approx-0,10,;-4,79,
ambos com parte real negativa. Então tá tudo certo pra aplicar o Teorema do Valor Final.

Passo 4

O Teorema do Valor Final diz
x(infty)=limsto 0s,X(s)
A gente já tem x(infty)=0 . Faz :
  • Numerador .
  • Denominador .
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Resposta

x(0⁺) não existe (vai a ∞)
x(∞)=0

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