Determine a transformada inversa de Laplace para as funções e regiões dadas a seguir
g)
g)
Passo 1
O enunciado pede pra achar a transformada inversa de Laplace bilateral de
Conteúdo: transformada de Laplace bilateral, frações parciais e região de convergência (ROC).
O que vamos precisar:
1. Decompor
2. Reconhecer as transformadas padrões
– lembrando que ROC à esquerda dos polos (
Passo 2
Entendendo a ROC: como todos os polos estão em
(duplo) e em
, a condição
indica que o sinal no tempo vive só para
.
Na prática isso significa que toda inversão de termo padrão vira multiplicada por e, às vezes, muda de sinal. Exemplos básicos:
Na prática isso significa que toda inversão de termo padrão vira multiplicada por
Passo 3
Vamos fazer a decomposição em frações parciais:
Multiplicando tudo por
$$s-1=A,s,(s+2)+B,(s+2)+C,s^{2}
=(A+C)s^{2}+(2A+B)s+2B.$$
Comparando coeficientes com :
1.
2.
3.
Comparando coeficientes com
1.
2.
3.
Daí
e
.
Então
Passo 4
Agora invertendo cada termo, lembrando da ROC para
:
Passo 5
Juntando tudo:
$$x(t)=-\frac{3}{4},u(-t);+;\frac12,t,u(-t);+;\frac{3}{4},e^{-2t}u(-t)
;=;u(-t)\Bigl(\tfrac12,t-\tfrac{3}{4}+\tfrac{3}{4}e^{-2t}\Bigr).$$