Determine a transformada inversa de Laplace para as funções e regiões dadas a seguir
g) X(s)=s-1s^2(s+2), Re(s)<-2

Passo 1

O enunciado pede pra achar a transformada inversa de Laplace bilateral de
X(s)=s-1s^2(s+2), Re(s)<-2
Conteúdo: transformada de Laplace bilateral, frações parciais e região de convergência (ROC).
O que vamos precisar:
1. Decompor X(s) em frações parciais.
2. Reconhecer as transformadas padrões
– lembrando que ROC à esquerda dos polos ( Re(s)<-2) gera sinais “left‐sided” (não nulos só para t<0), usando u(-t).

Passo 2

Entendendo a ROC: como todos os polos estão em s=0 (duplo) e em s=-2, a condição Re(s)<-2 indica que o sinal no tempo vive só para t<0.
Na prática isso significa que toda inversão de termo padrão vira multiplicada por u(-t) e, às vezes, muda de sinal. Exemplos básicos:
  • 1soversetROC Re(s)<0long<=ftrightarrow-u(-t)
  • 1s^2long<=ftrightarrow-,t,u(-t)
  • 1s+2long<=ftrightarrow-,e^-2tu(-t)

Passo 3

Vamos fazer a decomposição em frações parciais:
s-1s^2(s+2)=As+Bs^2+Cs+2
Multiplicando tudo por s^2(s+2), dá
$$s-1=A,s,(s+2)+B,(s+2)+C,s^{2}
=(A+C)s^{2}+(2A+B)s+2B.$$
Comparando coeficientes com s-1=A,s,(s+2)+B,(s+2)+C,s^2 =(A+C)s^2+(2A+B)s+2B:
1. 0cdot s^2+1cdot s-1
2. A+C=0
3. 2A+B=1
Daí 2B=-1;Rightarrow;B=-tfrac12 e 2A-tfrac12=1implies2A=tfrac32implies A=tfrac34.
Então
C=-A=-tfrac34

Passo 4

Agora invertendo cada termo, lembrando da ROC para t<0:
  1. 3/4s;long<=ftrightarrow;34,l(-u(-t)r)=-34,u(-t)
  2. -1/2s^2;long<=ftrightarrow;-tfrac12l(-t,u(-t)r)=+12,t,u(-t)
  3. -3/4s+2;long<=ftrightarrow;-tfrac34l(-e^-2tu(-t)r)=+34,e^-2tu(-t)

Passo 5

Juntando tudo:
$$x(t)=-\frac{3}{4},u(-t);+;\frac12,t,u(-t);+;\frac{3}{4},e^{-2t}u(-t)
;=;u(-t)\Bigl(\tfrac12,t-\tfrac{3}{4}+\tfrac{3}{4}e^{-2t}\Bigr).$$

Resposta

boxedx(t)=u(-t),l(tfrac12,t-tfrac34+tfrac34,e^-2tr)

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