4: Considere o sistema linear invariante no tempo cuja resposta ao impulso é
h(t)=t e^-2 t u(t)
Determine a saída y(t) em regime permanente do sistema, sendo a entrada x(t)=(1+2 cos (t)+ 3 cos (2 t)) u(t).
  • Dica: use conceito de resposta em frequência.

Passo 1

O enunciado dá um sistema LTI com resposta ao impulso
h(t) = t,e^-2t,u(t)
e entrada
x(t) = l(1 + 2cos t + 3cos2tr),u(t)
Ele pede a saída em regime permanente, ou seja, a soma das respostas forçadas ao componente DC ( omega=0) e aos senos/cossenos. Vamos usar o conceito de resposta em frequência, onde cada termo de frequência omega gera um ganho complexo H(jomega).

Passo 2

Calculamos a função de transferência H(s) pela transformada de Laplace de h(t):
H(s) ;=;Lt e^-2tu(t) ;=;integral0^infty t,e^-(s+2)t,dt ;=;1(s+2)^2

Passo 3

Componente DC ( omega=0):
H(j0) = 1(2+ j0)^2 = 14
Como o termo DC da entrada é 1, a saída DC em regime permanente é
yrm DC = 1cdot 14 = 14

Passo 4

Componente cos t (amplitude 2, omega=1):
H(j1) = 1(2 + j1)^2
Notando (2+j)^2=4+4j-1=3+4j, obtemos
H(j1) = 13+4j Longrightarrow |H(j1)|=15, arg H(j1) = -arctan!l(tfrac43r)
Logo a resposta forçada é
y1(t) = 2,15,cos!l(t - arctan(tfrac43)r) = 25,cos!l(t - arctan(tfrac43)r)

Passo 5

Componente cos2t (amplitude 3, omega=2):
H(j2) = 1(2+2j)^2
Como (2+2j)^2=4+8j-4=8j, segue
H(j2) = 18j = -j8 Longrightarrow |H(j2)|=18, arg H(j2) = -pi2
Então
y2(t) = 3,18,cos!l(2t - tfracpi2r) = 38,cos!l(2t - tfracpi2r)

Passo 6

Somando as respostas DC e forçadas, a saída em regime permanente é
y(t) = 14 + 25,cos!l(t - arctan(tfrac43)r) + 38,cos!l(2t - tfracpi2r)

Resposta

y(t) = 14 + 25,cos!l(t - arctan!tfrac43r) + 38,cos!l(2t - tfracpi2r)

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