Exercício 5: Determine a resposta do sistema linear invariante no tempo em regime permanente cuja resposta ao impulso é dada por
h(t)=100 t e^-t cos (2 t) u(t)
para a entrada x(t)=sen(2 t) u(t).
  • Dica: use conceito de resposta em frequência.

Passo 1

O enunciado dá a resposta ao impulso
h(t)=100,t,e^-tcos(2t),u(t)
e a entrada
x(t)=sin(2t),u(t)
Como o sistema é LTI, a resposta em regime permanente a uma senóide de frequência omega=2 é
yss(t)=l|H(j2)r|;sinl(2t+arg H(j2)r),u(t),
onde
H(s)=Lh(t)

Passo 2

Calcular H(s) via transformada de Laplace. Defina
F(s)=Le^-tcos(2t),u(t) =s+1(s+1)^2+4
Usando a propriedade
Lt,f(t)=-ddsF(s),
temos
H(s) =100;Lt,e^-tcos(2t) =-100,dds!l[s+1(s+1)^2+4r]
Fazendo a derivada em s:
dds!l[s+1(s+1)^2+4r] =(s+1)^2+4-2(s+1)^2l((s+1)^2+4r)^2 =4-(s+1)^2l((s+1)^2+4r)^2,
portanto
H(s) =100,(s+1)^2-4l((s+1)^2+4r)^2

Passo 3

Avaliar em s=j2. Seja
A=(j2+1)^2=-3+j4,
então
H(j2) =100,A-4(A+4)^2 =100,(-3+j4)-4l((-3+j4)+4r)^2 =100,-7+j4(1+j4)^2
Calcula-se
(1+j4)^2=-15+j8,
logo
H(j2) =100(-7+j4)-15+j8 =-700+j400-15+j8

Passo 4

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de -15+j8:
H(j2) =(-700+j400)(-15-j8)(-15)^2+8^2 =13700 - j400289 approx 47,40 - j1,38
Dessa forma
l|H(j2)r| =raiz13700^2+400^2289approx47,42, arg H(j2) =-arctan!l(tfrac40013700r)approx-0,0292 rad

Passo 5

A resposta em regime permanente é
yss(t) =47,42;sinl(2t-0,0292r),u(t)

Resposta

yss(t)=47,42,sinl(2t-0,0292r),u(t)

Exercícios relacionados